Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57859 / 88705
↖ ↑ ↗
← S 53.541939°
W 21.085510°		 ← 181.49 m → S 53.541939°
W 21.082764°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
S 53.543572°
W 21.085510°		 ← 181.49 m →
32 942 m²		 S 53.543572°
W 21.082764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441432952880859 y=0.676769256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441432952880859 × 217)
    floor (0.441432952880859 × 131072)
    floor (57859.5)     		tx = 57859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676769256591797 × 217)
    floor (0.676769256591797 × 131072)
    floor (88705.5)     		ty = 88705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57859 / 88705 ti = "17/57859/88705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57859/88705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57859 ÷ 217
    57859 ÷ 131072     		x = 0.441429138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88705 ÷ 217
    88705 ÷ 131072     		y = 0.676765441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441429138183594 × 2 - 1) × π
    -0.117141723632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36801158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676765441894531 × 2 - 1) × π
    -0.353530883789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.11065002729708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36801158} λ = -0.36801158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11065002729708))-π/2
    2×atan(0.329344808364587)-π/2
    2×0.318156597003514-π/2
    0.636313194007029-1.57079632675     		φ = -0.93448313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36801158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.085510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93448313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.541939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57859 KachelY 88705 -0.36801158 -0.93448313 -21.085510 -53.541939
    Oben rechts KachelX + 1 57860 KachelY 88705 -0.36796364 -0.93448313 -21.082764 -53.541939
    Unten links KachelX 57859 KachelY + 1 88706 -0.36801158 -0.93451162 -21.085510 -53.543572
    Unten rechts KachelX + 1 57860 KachelY + 1 88706 -0.36796364 -0.93451162 -21.082764 -53.543572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93448313--0.93451162) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dl = 181.509789999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93448313--0.93451162) × R
    2.84899999999366e-05 × 6371000     		dr = 181.509789999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36801158--0.36796364) × cos(-0.93448313) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594234220160391 × 6371000     		do = 181.494426425902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36801158--0.36796364) × cos(-0.93451162) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594211305638905 × 6371000     		du = 181.48742774122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93448313)-sin(-0.93451162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594234220160391-0.594211305638905)×R²
    abs(-0.36796364--0.36801158)×2.29145214865056e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29145214865056e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29145214865056e-05×40589641000000     		ar = 32942.3800641725m²