Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57840 / 90129
↖ ↑ ↗
← S 55.802825°
W 21.137695°		 ← 171.66 m → S 55.802825°
W 21.134949°		 →
↑
171.63 m
↓
↑
171.63 m
↓
S 55.804368°
W 21.137695°		 ← 171.66 m →
29 463 m²		 S 55.804368°
W 21.134949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441287994384766 y=0.687633514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441287994384766 × 217)
    floor (0.441287994384766 × 131072)
    floor (57840.5)     		tx = 57840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687633514404297 × 217)
    floor (0.687633514404297 × 131072)
    floor (90129.5)     		ty = 90129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57840 / 90129 ti = "17/57840/90129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57840/90129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57840 ÷ 217
    57840 ÷ 131072     		x = 0.4412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90129 ÷ 217
    90129 ÷ 131072     		y = 0.687629699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.117431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36892238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687629699707031 × 2 - 1) × π
    -0.375259399414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.17891217235604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36892238} λ = -0.36892238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17891217235604))-π/2
    2×atan(0.307613186785391)-π/2
    2×0.298426651961181-π/2
    0.596853303922362-1.57079632675     		φ = -0.97394302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36892238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.137695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97394302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.802825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57840 KachelY 90129 -0.36892238 -0.97394302 -21.137695 -55.802825
    Oben rechts KachelX + 1 57841 KachelY 90129 -0.36887444 -0.97394302 -21.134949 -55.802825
    Unten links KachelX 57840 KachelY + 1 90130 -0.36892238 -0.97396996 -21.137695 -55.804368
    Unten rechts KachelX + 1 57841 KachelY + 1 90130 -0.36887444 -0.97396996 -21.134949 -55.804368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97394302--0.97396996) × R
    2.69400000000308e-05 × 6371000     		dl = 171.634740000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97394302--0.97396996) × R
    2.69400000000308e-05 × 6371000     		dr = 171.634740000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36892238--0.36887444) × cos(-0.97394302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562042604257865 × 6371000     		do = 171.662278316873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36892238--0.36887444) × cos(-0.97396996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562020321756781 × 6371000     		du = 171.65547266749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97394302)-sin(-0.97396996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562042604257865-0.562020321756781)×R²
    abs(-0.36887444--0.36892238)×2.22825010831595e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22825010831595e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22825010831595e-05×40589641000000     		ar = 29462.626465627m²