Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57839 / 89041
↖ ↑ ↗
← S 54.086784°
W 21.140442°		 ← 179.15 m → S 54.086784°
W 21.137695°		 →
↑
179.15 m
↓
↑
179.15 m
↓
S 54.088396°
W 21.140442°		 ← 179.14 m →
32 095 m²		 S 54.088396°
W 21.137695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441280364990234 y=0.679332733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441280364990234 × 217)
    floor (0.441280364990234 × 131072)
    floor (57839.5)     		tx = 57839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679332733154297 × 217)
    floor (0.679332733154297 × 131072)
    floor (89041.5)     		ty = 89041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57839 / 89041 ti = "17/57839/89041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57839/89041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57839 ÷ 217
    57839 ÷ 131072     		x = 0.441276550292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89041 ÷ 217
    89041 ÷ 131072     		y = 0.679328918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441276550292969 × 2 - 1) × π
    -0.117446899414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36897032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679328918457031 × 2 - 1) × π
    -0.358657836914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.12675682556942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36897032} λ = -0.36897032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12675682556942))-π/2
    2×atan(0.324082610318797)-π/2
    2×0.313401927866394-π/2
    0.626803855732789-1.57079632675     		φ = -0.94399247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36897032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.140442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94399247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.086784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57839 KachelY 89041 -0.36897032 -0.94399247 -21.140442 -54.086784
    Oben rechts KachelX + 1 57840 KachelY 89041 -0.36892238 -0.94399247 -21.137695 -54.086784
    Unten links KachelX 57839 KachelY + 1 89042 -0.36897032 -0.94402059 -21.140442 -54.088396
    Unten rechts KachelX + 1 57840 KachelY + 1 89042 -0.36892238 -0.94402059 -21.137695 -54.088396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94399247--0.94402059) × R
    2.81200000000759e-05 × 6371000     		dl = 179.152520000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94399247--0.94402059) × R
    2.81200000000759e-05 × 6371000     		dr = 179.152520000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36897032--0.36892238) × cos(-0.94399247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.586559181557102 × 6371000     		do = 179.150272080962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36897032--0.36892238) × cos(-0.94402059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.586536406758103 × 6371000     		du = 179.143316071125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94399247)-sin(-0.94402059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586559181557102-0.586536406758103)×R²
    abs(-0.36892238--0.36897032)×2.27747989992588e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.27747989992588e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.27747989992588e-05×40589641000000     		ar = 32094.5996110409m²