Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57838 / 90130
↖ ↑ ↗
← S 55.804368°
W 21.143188°		 ← 171.62 m → S 55.804368°
W 21.140442°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
S 55.805912°
W 21.143188°		 ← 171.61 m →
29 466 m²		 S 55.805912°
W 21.140442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441272735595703 y=0.687641143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441272735595703 × 217)
    floor (0.441272735595703 × 131072)
    floor (57838.5)     		tx = 57838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687641143798828 × 217)
    floor (0.687641143798828 × 131072)
    floor (90130.5)     		ty = 90130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57838 / 90130 ti = "17/57838/90130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57838/90130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57838 ÷ 217
    57838 ÷ 131072     		x = 0.441268920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90130 ÷ 217
    90130 ÷ 131072     		y = 0.687637329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441268920898438 × 2 - 1) × π
    -0.117462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36901825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687637329101562 × 2 - 1) × π
    -0.375274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17896010925566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36901825} λ = -0.36901825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17896010925566))-π/2
    2×atan(0.307598441116368)-π/2
    2×0.298413180938346-π/2
    0.596826361876692-1.57079632675     		φ = -0.97396996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36901825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.143188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97396996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.804368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57838 KachelY 90130 -0.36901825 -0.97396996 -21.143188 -55.804368
    Oben rechts KachelX + 1 57839 KachelY 90130 -0.36897032 -0.97396996 -21.140442 -55.804368
    Unten links KachelX 57838 KachelY + 1 90131 -0.36901825 -0.97399691 -21.143188 -55.805912
    Unten rechts KachelX + 1 57839 KachelY + 1 90131 -0.36897032 -0.97399691 -21.140442 -55.805912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97396996--0.97399691) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dl = 171.698449999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97396996--0.97399691) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dr = 171.698449999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36901825--0.36897032) × cos(-0.97396996) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.562020321756781 × 6371000     		do = 171.61966635281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36901825--0.36897032) × cos(-0.97399691) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.561998030576419 × 6371000     		du = 171.612859472724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97396996)-sin(-0.97399691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562020321756781-0.561998030576419)×R²
    abs(-0.36897032--0.36901825)×2.22911803627879e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22911803627879e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22911803627879e-05×40589641000000     		ar = 29466.2463386534m²