Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57834 / 89650
↖ ↑ ↗
← S 55.056349°
W 21.154175°		 ← 174.94 m → S 55.056349°
W 21.151428°		 →
↑
174.95 m
↓
↑
174.95 m
↓
S 55.057922°
W 21.154175°		 ← 174.93 m →
30 605 m²		 S 55.057922°
W 21.151428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441242218017578 y=0.683979034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441242218017578 × 217)
    floor (0.441242218017578 × 131072)
    floor (57834.5)     		tx = 57834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683979034423828 × 217)
    floor (0.683979034423828 × 131072)
    floor (89650.5)     		ty = 89650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57834 / 89650 ti = "17/57834/89650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57834/89650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57834 ÷ 217
    57834 ÷ 131072     		x = 0.441238403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89650 ÷ 217
    89650 ÷ 131072     		y = 0.683975219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441238403320312 × 2 - 1) × π
    -0.117523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36921000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683975219726562 × 2 - 1) × π
    -0.367950439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15595039743803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36921000} λ = -0.36921000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15595039743803))-π/2
    2×atan(0.314758249271134)-π/2
    2×0.304940881042892-π/2
    0.609881762085784-1.57079632675     		φ = -0.96091456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36921000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.154175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96091456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.056349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57834 KachelY 89650 -0.36921000 -0.96091456 -21.154175 -55.056349
    Oben rechts KachelX + 1 57835 KachelY 89650 -0.36916206 -0.96091456 -21.151428 -55.056349
    Unten links KachelX 57834 KachelY + 1 89651 -0.36921000 -0.96094202 -21.154175 -55.057922
    Unten rechts KachelX + 1 57835 KachelY + 1 89651 -0.36916206 -0.96094202 -21.151428 -55.057922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96091456--0.96094202) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dl = 174.947659999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96091456--0.96094202) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dr = 174.947659999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36921000--0.36916206) × cos(-0.96091456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572770546484417 × 6371000     		do = 174.938868010093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36921000--0.36916206) × cos(-0.96094202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572748036874139 × 6371000     		du = 174.931992995716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96091456)-sin(-0.96094202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572770546484417-0.572748036874139)×R²
    abs(-0.36916206--0.36921000)×2.25096102787203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25096102787203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25096102787203e-05×40589641000000     		ar = 30604.5442194592m²