Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57832 / 87969
↖ ↑ ↗
← S 52.323590°
W 21.159668°		 ← 186.64 m → S 52.323590°
W 21.156922°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
S 52.325268°
W 21.159668°		 ← 186.63 m →
34 827 m²		 S 52.325268°
W 21.156922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441226959228516 y=0.671154022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441226959228516 × 217)
    floor (0.441226959228516 × 131072)
    floor (57832.5)     		tx = 57832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671154022216797 × 217)
    floor (0.671154022216797 × 131072)
    floor (87969.5)     		ty = 87969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57832 / 87969 ti = "17/57832/87969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57832/87969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57832 ÷ 217
    57832 ÷ 131072     		x = 0.44122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87969 ÷ 217
    87969 ÷ 131072     		y = 0.671150207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.1175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36930587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671150207519531 × 2 - 1) × π
    -0.342300415039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.07536846917672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36930587} λ = -0.36930587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07536846917672))-π/2
    2×atan(0.341172020764155)-π/2
    2×0.328788705635539-π/2
    0.657577411271079-1.57079632675     		φ = -0.91321892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36930587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.159668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91321892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.323590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57832 KachelY 87969 -0.36930587 -0.91321892 -21.159668 -52.323590
    Oben rechts KachelX + 1 57833 KachelY 87969 -0.36925794 -0.91321892 -21.156922 -52.323590
    Unten links KachelX 57832 KachelY + 1 87970 -0.36930587 -0.91324821 -21.159668 -52.325268
    Unten rechts KachelX + 1 57833 KachelY + 1 87970 -0.36925794 -0.91324821 -21.156922 -52.325268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91321892--0.91324821) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dl = 186.606589999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91321892--0.91324821) × R
    2.92899999999596e-05 × 6371000     		dr = 186.606589999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36930587--0.36925794) × cos(-0.91321892) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611201224855757 × 6371000     		do = 186.637646760339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36930587--0.36925794) × cos(-0.91324821) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611178042283672 × 6371000     		du = 186.630567683066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91321892)-sin(-0.91324821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611201224855757-0.611178042283672)×R²
    abs(-0.36925794--0.36930587)×2.31825720855561e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31825720855561e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31825720855561e-05×40589641000000     		ar = 34827.1543288589m²