Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57827 / 89763
↖ ↑ ↗
← S 55.233722°
W 21.173401°		 ← 174.16 m → S 55.233722°
W 21.170654°		 →
↑
174.18 m
↓
↑
174.18 m
↓
S 55.235288°
W 21.173401°		 ← 174.16 m →
30 336 m²		 S 55.235288°
W 21.170654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441188812255859 y=0.684841156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441188812255859 × 217)
    floor (0.441188812255859 × 131072)
    floor (57827.5)     		tx = 57827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684841156005859 × 217)
    floor (0.684841156005859 × 131072)
    floor (89763.5)     		ty = 89763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57827 / 89763 ti = "17/57827/89763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57827/89763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57827 ÷ 217
    57827 ÷ 131072     		x = 0.441184997558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89763 ÷ 217
    89763 ÷ 131072     		y = 0.684837341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441184997558594 × 2 - 1) × π
    -0.117630004882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36954556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684837341308594 × 2 - 1) × π
    -0.369674682617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.1613672670951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36954556} λ = -0.36954556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1613672670951))-π/2
    2×atan(0.313057854427776)-π/2
    2×0.303393010879083-π/2
    0.606786021758167-1.57079632675     		φ = -0.96401030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36954556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.173401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96401030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.233722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57827 KachelY 89763 -0.36954556 -0.96401030 -21.173401 -55.233722
    Oben rechts KachelX + 1 57828 KachelY 89763 -0.36949762 -0.96401030 -21.170654 -55.233722
    Unten links KachelX 57827 KachelY + 1 89764 -0.36954556 -0.96403764 -21.173401 -55.235288
    Unten rechts KachelX + 1 57828 KachelY + 1 89764 -0.36949762 -0.96403764 -21.170654 -55.235288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96401030--0.96403764) × R
    2.73400000000423e-05 × 6371000     		dl = 174.18314000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96401030--0.96403764) × R
    2.73400000000423e-05 × 6371000     		dr = 174.18314000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36954556--0.36949762) × cos(-0.96401030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570230179118657 × 6371000     		do = 174.162974427534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36954556--0.36949762) × cos(-0.96403764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.570207719506682 × 6371000     		du = 174.156114683927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96401030)-sin(-0.96403764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570230179118657-0.570207719506682)×R²
    abs(-0.36949762--0.36954556)×2.2459611975334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2459611975334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2459611975334e-05×40589641000000     		ar = 30335.6563335922m²