Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57826 / 90337
↖ ↑ ↗
← S 56.122592°
W 21.176148°		 ← 170.25 m → S 56.122592°
W 21.173401°		 →
↑
170.23 m
↓
↑
170.23 m
↓
S 56.124123°
W 21.176148°		 ← 170.24 m →
28 982 m²		 S 56.124123°
W 21.173401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441181182861328 y=0.689220428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441181182861328 × 217)
    floor (0.441181182861328 × 131072)
    floor (57826.5)     		tx = 57826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689220428466797 × 217)
    floor (0.689220428466797 × 131072)
    floor (90337.5)     		ty = 90337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57826 / 90337 ti = "17/57826/90337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57826/90337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57826 ÷ 217
    57826 ÷ 131072     		x = 0.441177368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90337 ÷ 217
    90337 ÷ 131072     		y = 0.689216613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441177368164062 × 2 - 1) × π
    -0.117645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36959350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689216613769531 × 2 - 1) × π
    -0.378433227539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.18888304747701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36959350} λ = -0.36959350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18888304747701))-π/2
    2×atan(0.304561254616454)-π/2
    2×0.295636160636737-π/2
    0.591272321273473-1.57079632675     		φ = -0.97952401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36959350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.176148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97952401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.122592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57826 KachelY 90337 -0.36959350 -0.97952401 -21.176148 -56.122592
    Oben rechts KachelX + 1 57827 KachelY 90337 -0.36954556 -0.97952401 -21.173401 -56.122592
    Unten links KachelX 57826 KachelY + 1 90338 -0.36959350 -0.97955073 -21.176148 -56.124123
    Unten rechts KachelX + 1 57827 KachelY + 1 90338 -0.36954556 -0.97955073 -21.173401 -56.124123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97952401--0.97955073) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dl = 170.233120000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97952401--0.97955073) × R
    2.67200000000356e-05 × 6371000     		dr = 170.233120000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36959350--0.36954556) × cos(-0.97952401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557417792093353 × 6371000     		do = 170.249741639364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36959350--0.36954556) × cos(-0.97955073) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557395608091608 × 6371000     		du = 170.242966074215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97952401)-sin(-0.97955073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557417792093353-0.557395608091608)×R²
    abs(-0.36954556--0.36959350)×2.21840017449182e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21840017449182e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21840017449182e-05×40589641000000     		ar = 28981.567987391m²