Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57825 / 91743
↖ ↑ ↗
← S 58.215578°
W 21.178894°		 ← 160.84 m → S 58.215578°
W 21.176148°		 →
↑
160.87 m
↓
↑
160.87 m
↓
S 58.217025°
W 21.178894°		 ← 160.84 m →
25 874 m²		 S 58.217025°
W 21.176148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441173553466797 y=0.699947357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441173553466797 × 217)
    floor (0.441173553466797 × 131072)
    floor (57825.5)     		tx = 57825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699947357177734 × 217)
    floor (0.699947357177734 × 131072)
    floor (91743.5)     		ty = 91743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57825 / 91743 ti = "17/57825/91743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57825/91743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57825 ÷ 217
    57825 ÷ 131072     		x = 0.441169738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91743 ÷ 217
    91743 ÷ 131072     		y = 0.699943542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441169738769531 × 2 - 1) × π
    -0.117660522460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.36964143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699943542480469 × 2 - 1) × π
    -0.399887084960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.25628232834281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36964143} λ = -0.36964143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25628232834281))-π/2
    2×atan(0.284710521668784)-π/2
    2×0.277371404881026-π/2
    0.554742809762052-1.57079632675     		φ = -1.01605352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36964143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.178894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01605352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.215578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57825 KachelY 91743 -0.36964143 -1.01605352 -21.178894 -58.215578
    Oben rechts KachelX + 1 57826 KachelY 91743 -0.36959350 -1.01605352 -21.176148 -58.215578
    Unten links KachelX 57825 KachelY + 1 91744 -0.36964143 -1.01607877 -21.178894 -58.217025
    Unten rechts KachelX + 1 57826 KachelY + 1 91744 -0.36959350 -1.01607877 -21.176148 -58.217025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01605352--1.01607877) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dl = 160.867749999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01605352--1.01607877) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dr = 160.867749999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36964143--0.36959350) × cos(-1.01605352) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.526724694159246 × 6371000     		do = 160.841721859509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36964143--0.36959350) × cos(-1.01607877) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.526703230583894 × 6371000     		du = 160.835167698568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01605352)-sin(-1.01607877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526724694159246-0.526703230583894)×R²
    abs(-0.36959350--0.36964143)×2.14635753520431e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14635753520431e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14635753520431e-05×40589641000000     		ar = 25873.7187264627m²