Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57823 / 91746
↖ ↑ ↗
← S 58.219918°
W 21.184387°		 ← 160.86 m → S 58.219918°
W 21.181641°		 →
↑
160.87 m
↓
↑
160.87 m
↓
S 58.221365°
W 21.184387°		 ← 160.85 m →
25 876 m²		 S 58.221365°
W 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441158294677734 y=0.699970245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441158294677734 × 217)
    floor (0.441158294677734 × 131072)
    floor (57823.5)     		tx = 57823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.699970245361328 × 217)
    floor (0.699970245361328 × 131072)
    floor (91746.5)     		ty = 91746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57823 / 91746 ti = "17/57823/91746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57823/91746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57823 ÷ 217
    57823 ÷ 131072     		x = 0.441154479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91746 ÷ 217
    91746 ÷ 131072     		y = 0.699966430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441154479980469 × 2 - 1) × π
    -0.117691040039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36973731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.699966430664062 × 2 - 1) × π
    -0.399932861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25642613904167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36973731} λ = -0.36973731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25642613904167))-π/2
    2×atan(0.284669580193671)-π/2
    2×0.277333532872559-π/2
    0.554667065745118-1.57079632675     		φ = -1.01612926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36973731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.184387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01612926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.219918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57823 KachelY 91746 -0.36973731 -1.01612926 -21.184387 -58.219918
    Oben rechts KachelX + 1 57824 KachelY 91746 -0.36968937 -1.01612926 -21.181641 -58.219918
    Unten links KachelX 57823 KachelY + 1 91747 -0.36973731 -1.01615451 -21.184387 -58.221365
    Unten rechts KachelX + 1 57824 KachelY + 1 91747 -0.36968937 -1.01615451 -21.181641 -58.221365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01612926--1.01615451) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dl = 160.867749999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01612926--1.01615451) × R
    2.52499999999767e-05 × 6371000     		dr = 160.867749999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36973731--0.36968937) × cos(-1.01612926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.526660310926543 × 6371000     		do = 160.855615193264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36973731--0.36968937) × cos(-1.01615451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.526638846343946 × 6371000     		du = 160.849059357241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01612926)-sin(-1.01615451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526660310926543-0.526638846343946)×R²
    abs(-0.36968937--0.36973731)×2.14645825967752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14645825967752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14645825967752e-05×40589641000000     		ar = 25875.9535810344m²