Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57821 / 89693
↖ ↑ ↗
← S 55.123938°
W 21.189880°		 ← 174.64 m → S 55.123938°
W 21.187134°		 →
↑
174.63 m
↓
↑
174.63 m
↓
S 55.125508°
W 21.189880°		 ← 174.64 m →
30 497 m²		 S 55.125508°
W 21.187134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441143035888672 y=0.684307098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441143035888672 × 217)
    floor (0.441143035888672 × 131072)
    floor (57821.5)     		tx = 57821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684307098388672 × 217)
    floor (0.684307098388672 × 131072)
    floor (89693.5)     		ty = 89693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57821 / 89693 ti = "17/57821/89693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57821/89693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57821 ÷ 217
    57821 ÷ 131072     		x = 0.441139221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89693 ÷ 217
    89693 ÷ 131072     		y = 0.684303283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441139221191406 × 2 - 1) × π
    -0.117721557617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36983318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684303283691406 × 2 - 1) × π
    -0.368606567382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.1580116841217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36983318} λ = -0.36983318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1580116841217))-π/2
    2×atan(0.314110110512725)-π/2
    2×0.304351057477379-π/2
    0.608702114954759-1.57079632675     		φ = -0.96209421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36983318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.189880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96209421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.123938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57821 KachelY 89693 -0.36983318 -0.96209421 -21.189880 -55.123938
    Oben rechts KachelX + 1 57822 KachelY 89693 -0.36978524 -0.96209421 -21.187134 -55.123938
    Unten links KachelX 57821 KachelY + 1 89694 -0.36983318 -0.96212162 -21.189880 -55.125508
    Unten rechts KachelX + 1 57822 KachelY + 1 89694 -0.36978524 -0.96212162 -21.187134 -55.125508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96209421--0.96212162) × R
    2.7410000000061e-05 × 6371000     		dl = 174.629110000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96209421--0.96212162) × R
    2.7410000000061e-05 × 6371000     		dr = 174.629110000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36983318--0.36978524) × cos(-0.96209421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571803170504904 × 6371000     		do = 174.643406485692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36983318--0.36978524) × cos(-0.96212162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571780683377118 × 6371000     		du = 174.636538338047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96209421)-sin(-0.96212162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571803170504904-0.571780683377118)×R²
    abs(-0.36978524--0.36983318)×2.2487127786075e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2487127786075e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2487127786075e-05×40589641000000     		ar = 30497.2229548404m²