Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57818 / 90354
↖ ↑ ↗
← S 56.148610°
W 21.198120°		 ← 170.13 m → S 56.148610°
W 21.195373°		 →
↑
170.11 m
↓
↑
170.11 m
↓
S 56.150140°
W 21.198120°		 ← 170.13 m →
28 940 m²		 S 56.150140°
W 21.195373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441120147705078 y=0.689350128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441120147705078 × 217)
    floor (0.441120147705078 × 131072)
    floor (57818.5)     		tx = 57818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689350128173828 × 217)
    floor (0.689350128173828 × 131072)
    floor (90354.5)     		ty = 90354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57818 / 90354 ti = "17/57818/90354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57818/90354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57818 ÷ 217
    57818 ÷ 131072     		x = 0.441116333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90354 ÷ 217
    90354 ÷ 131072     		y = 0.689346313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441116333007812 × 2 - 1) × π
    -0.117767333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36997699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689346313476562 × 2 - 1) × π
    -0.378692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18969797477055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36997699} λ = -0.36997699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18969797477055))-π/2
    2×atan(0.304313160440599)-π/2
    2×0.295409109974185-π/2
    0.590818219948369-1.57079632675     		φ = -0.97997811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36997699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.198120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97997811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.148610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57818 KachelY 90354 -0.36997699 -0.97997811 -21.198120 -56.148610
    Oben rechts KachelX + 1 57819 KachelY 90354 -0.36992905 -0.97997811 -21.195373 -56.148610
    Unten links KachelX 57818 KachelY + 1 90355 -0.36997699 -0.98000481 -21.198120 -56.150140
    Unten rechts KachelX + 1 57819 KachelY + 1 90355 -0.36992905 -0.98000481 -21.195373 -56.150140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97997811--0.98000481) × R
    2.66999999999351e-05 × 6371000     		dl = 170.105699999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97997811--0.98000481) × R
    2.66999999999351e-05 × 6371000     		dr = 170.105699999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36997699--0.36992905) × cos(-0.97997811) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557040726220201 × 6371000     		do = 170.134576016028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36997699--0.36992905) × cos(-0.98000481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557018552067422 × 6371000     		du = 170.127803459006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97997811)-sin(-0.98000481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557040726220201-0.557018552067422)×R²
    abs(-0.36992905--0.36997699)×2.21741527793862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21741527793862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21741527793862e-05×40589641000000     		ar = 28940.2851238442m²