Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57813 / 87962
↖ ↑ ↗
← S 52.311837°
W 21.211853°		 ← 186.73 m → S 52.311837°
W 21.209107°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
S 52.313516°
W 21.211853°		 ← 186.72 m →
34 867 m²		 S 52.313516°
W 21.209107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441082000732422 y=0.671100616455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441082000732422 × 217)
    floor (0.441082000732422 × 131072)
    floor (57813.5)     		tx = 57813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671100616455078 × 217)
    floor (0.671100616455078 × 131072)
    floor (87962.5)     		ty = 87962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57813 / 87962 ti = "17/57813/87962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57813/87962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57813 ÷ 217
    57813 ÷ 131072     		x = 0.441078186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87962 ÷ 217
    87962 ÷ 131072     		y = 0.671096801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441078186035156 × 2 - 1) × π
    -0.117843627929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37021668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671096801757812 × 2 - 1) × π
    -0.342193603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.07503291087938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37021668} λ = -0.37021668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07503291087938))-π/2
    2×atan(0.341286523076569)-π/2
    2×0.328891266075297-π/2
    0.657782532150594-1.57079632675     		φ = -0.91301379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37021668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.211853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91301379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.311837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57813 KachelY 87962 -0.37021668 -0.91301379 -21.211853 -52.311837
    Oben rechts KachelX + 1 57814 KachelY 87962 -0.37016874 -0.91301379 -21.209107 -52.311837
    Unten links KachelX 57813 KachelY + 1 87963 -0.37021668 -0.91304310 -21.211853 -52.313516
    Unten rechts KachelX + 1 57814 KachelY + 1 87963 -0.37016874 -0.91304310 -21.209107 -52.313516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91301379--0.91304310) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dl = 186.734009999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91301379--0.91304310) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dr = 186.734009999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37021668--0.37016874) × cos(-0.91301379) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611363567312374 × 6371000     		do = 186.726169955515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37021668--0.37016874) × cos(-0.91304310) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611340372585606 × 6371000     		du = 186.719085688928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91301379)-sin(-0.91304310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611363567312374-0.611340372585606)×R²
    abs(-0.37016874--0.37021668)×2.31947267683719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31947267683719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31947267683719e-05×40589641000000     		ar = 34867.4650534278m²