Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57804 / 89012
↖ ↑ ↗
← S 54.040038°
W 21.236572°		 ← 179.35 m → S 54.040038°
W 21.233826°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
S 54.041651°
W 21.236572°		 ← 179.35 m →
32 165 m²		 S 54.041651°
W 21.233826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441013336181641 y=0.679111480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441013336181641 × 217)
    floor (0.441013336181641 × 131072)
    floor (57804.5)     		tx = 57804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679111480712891 × 217)
    floor (0.679111480712891 × 131072)
    floor (89012.5)     		ty = 89012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57804 / 89012 ti = "17/57804/89012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57804/89012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57804 ÷ 217
    57804 ÷ 131072     		x = 0.441009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89012 ÷ 217
    89012 ÷ 131072     		y = 0.679107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441009521484375 × 2 - 1) × π
    -0.11798095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37064811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.35821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12536665548044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37064811} λ = -0.37064811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12536665548044))-π/2
    2×atan(0.324533453571817)-π/2
    2×0.313809865942584-π/2
    0.627619731885169-1.57079632675     		φ = -0.94317659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37064811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.236572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94317659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.040038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57804 KachelY 89012 -0.37064811 -0.94317659 -21.236572 -54.040038
    Oben rechts KachelX + 1 57805 KachelY 89012 -0.37060017 -0.94317659 -21.233826 -54.040038
    Unten links KachelX 57804 KachelY + 1 89013 -0.37064811 -0.94320474 -21.236572 -54.041651
    Unten rechts KachelX + 1 57805 KachelY + 1 89013 -0.37060017 -0.94320474 -21.233826 -54.041651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94317659--0.94320474) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94317659--0.94320474) × R
    2.81500000000046e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37064811--0.37060017) × cos(-0.94317659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587219772667592 × 6371000     		do = 179.352033609513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37064811--0.37060017) × cos(-0.94320474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.587196987049749 × 6371000     		du = 179.345074295322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94317659)-sin(-0.94320474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587219772667592-0.587196987049749)×R²
    abs(-0.37060017--0.37064811)×2.27856178428576e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.27856178428576e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.27856178428576e-05×40589641000000     		ar = 32165.024290305m²