Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57799 / 90169
↖ ↑ ↗
← S 55.864523°
W 21.250305°		 ← 171.35 m → S 55.864523°
W 21.247559°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
S 55.866065°
W 21.250305°		 ← 171.35 m →
29 366 m²		 S 55.866065°
W 21.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440975189208984 y=0.687938690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440975189208984 × 217)
    floor (0.440975189208984 × 131072)
    floor (57799.5)     		tx = 57799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687938690185547 × 217)
    floor (0.687938690185547 × 131072)
    floor (90169.5)     		ty = 90169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57799 / 90169 ti = "17/57799/90169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57799/90169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57799 ÷ 217
    57799 ÷ 131072     		x = 0.440971374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90169 ÷ 217
    90169 ÷ 131072     		y = 0.687934875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440971374511719 × 2 - 1) × π
    -0.118057250976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37088779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687934875488281 × 2 - 1) × π
    -0.375869750976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.18082964834084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37088779} λ = -0.37088779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18082964834084))-π/2
    2×atan(0.307023911028728)-π/2
    2×0.297888227542318-π/2
    0.595776455084636-1.57079632675     		φ = -0.97501987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37088779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.250305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97501987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.864523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57799 KachelY 90169 -0.37088779 -0.97501987 -21.250305 -55.864523
    Oben rechts KachelX + 1 57800 KachelY 90169 -0.37083986 -0.97501987 -21.247559 -55.864523
    Unten links KachelX 57799 KachelY + 1 90170 -0.37088779 -0.97504677 -21.250305 -55.866065
    Unten rechts KachelX + 1 57800 KachelY + 1 90170 -0.37083986 -0.97504677 -21.247559 -55.866065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97501987--0.97504677) × R
    2.68999999999409e-05 × 6371000     		dl = 171.379899999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97501987--0.97504677) × R
    2.68999999999409e-05 × 6371000     		dr = 171.379899999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37088779--0.37083986) × cos(-0.97501987) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.561151607002045 × 6371000     		do = 171.354393851813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37088779--0.37083986) × cos(-0.97504677) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.561129341318287 × 6371000     		du = 171.347594757422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97501987)-sin(-0.97504677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561151607002045-0.561129341318287)×R²
    abs(-0.37083986--0.37088779)×2.22656837580715e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22656837580715e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22656837580715e-05×40589641000000     		ar = 29366.1162703883m²