Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57796 / 89669
↖ ↑ ↗
← S 55.086228°
W 21.258545°		 ← 174.77 m → S 55.086228°
W 21.255799°		 →
↑
174.82 m
↓
↑
174.82 m
↓
S 55.087800°
W 21.258545°		 ← 174.76 m →
30 553 m²		 S 55.087800°
W 21.255799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440952301025391 y=0.684123992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440952301025391 × 217)
    floor (0.440952301025391 × 131072)
    floor (57796.5)     		tx = 57796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684123992919922 × 217)
    floor (0.684123992919922 × 131072)
    floor (89669.5)     		ty = 89669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57796 / 89669 ti = "17/57796/89669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57796/89669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57796 ÷ 217
    57796 ÷ 131072     		x = 0.440948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89669 ÷ 217
    89669 ÷ 131072     		y = 0.684120178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.11810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37103160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684120178222656 × 2 - 1) × π
    -0.368240356445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.15686119853082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37103160} λ = -0.37103160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15686119853082))-π/2
    2×atan(0.31447169762932)-π/2
    2×0.304680138383734-π/2
    0.609360276767469-1.57079632675     		φ = -0.96143605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37103160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.258545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96143605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.086228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57796 KachelY 89669 -0.37103160 -0.96143605 -21.258545 -55.086228
    Oben rechts KachelX + 1 57797 KachelY 89669 -0.37098367 -0.96143605 -21.255799 -55.086228
    Unten links KachelX 57796 KachelY + 1 89670 -0.37103160 -0.96146349 -21.258545 -55.087800
    Unten rechts KachelX + 1 57797 KachelY + 1 89670 -0.37098367 -0.96146349 -21.255799 -55.087800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96143605--0.96146349) × R
    2.74399999999897e-05 × 6371000     		dl = 174.820239999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96143605--0.96146349) × R
    2.74399999999897e-05 × 6371000     		dr = 174.820239999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37103160--0.37098367) × cos(-0.96143605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.572342995057422 × 6371000     		do = 174.771818827121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37103160--0.37098367) × cos(-0.96146349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.572320493648826 × 6371000     		du = 174.764947751315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96143605)-sin(-0.96146349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572342995057422-0.572320493648826)×R²
    abs(-0.37098367--0.37103160)×2.2501408595943e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2501408595943e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2501408595943e-05×40589641000000     		ar = 30553.0507131099m²