Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57795 / 89675
↖ ↑ ↗
← S 55.095659°
W 21.261292°		 ← 174.77 m → S 55.095659°
W 21.258545°		 →
↑
174.76 m
↓
↑
174.76 m
↓
S 55.097230°
W 21.261292°		 ← 174.76 m →
30 541 m²		 S 55.097230°
W 21.258545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440944671630859 y=0.684169769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440944671630859 × 217)
    floor (0.440944671630859 × 131072)
    floor (57795.5)     		tx = 57795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684169769287109 × 217)
    floor (0.684169769287109 × 131072)
    floor (89675.5)     		ty = 89675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57795 / 89675 ti = "17/57795/89675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57795/89675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57795 ÷ 217
    57795 ÷ 131072     		x = 0.440940856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89675 ÷ 217
    89675 ÷ 131072     		y = 0.684165954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440940856933594 × 2 - 1) × π
    -0.118118286132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37107954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684165954589844 × 2 - 1) × π
    -0.368331909179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.15714881992854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37107954} λ = -0.37107954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15714881992854))-π/2
    2×atan(0.314381261846361)-π/2
    2×0.304597839043684-π/2
    0.609195678087369-1.57079632675     		φ = -0.96160065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37107954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.261292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96160065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.095659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57795 KachelY 89675 -0.37107954 -0.96160065 -21.261292 -55.095659
    Oben rechts KachelX + 1 57796 KachelY 89675 -0.37103160 -0.96160065 -21.258545 -55.095659
    Unten links KachelX 57795 KachelY + 1 89676 -0.37107954 -0.96162808 -21.261292 -55.097230
    Unten rechts KachelX + 1 57796 KachelY + 1 89676 -0.37103160 -0.96162808 -21.258545 -55.097230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96160065--0.96162808) × R
    2.74300000000505e-05 × 6371000     		dl = 174.756530000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96160065--0.96162808) × R
    2.74300000000505e-05 × 6371000     		dr = 174.756530000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37107954--0.37103160) × cos(-0.96160065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572208012946565 × 6371000     		do = 174.76705578802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37107954--0.37103160) × cos(-0.96162808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572185517154509 × 6371000     		du = 174.760184994084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96160065)-sin(-0.96162808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572208012946565-0.572185517154509)×R²
    abs(-0.37103160--0.37107954)×2.24957920561542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24957920561542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24957920561542e-05×40589641000000     		ar = 30541.0838716721m²