Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57793 / 90277
↖ ↑ ↗
← S 56.030622°
W 21.266784°		 ← 170.62 m → S 56.030622°
W 21.264038°		 →
↑
170.62 m
↓
↑
170.62 m
↓
S 56.032157°
W 21.266784°		 ← 170.61 m →
29 110 m²		 S 56.032157°
W 21.264038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440929412841797 y=0.688762664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440929412841797 × 217)
    floor (0.440929412841797 × 131072)
    floor (57793.5)     		tx = 57793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688762664794922 × 217)
    floor (0.688762664794922 × 131072)
    floor (90277.5)     		ty = 90277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57793 / 90277 ti = "17/57793/90277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57793/90277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57793 ÷ 217
    57793 ÷ 131072     		x = 0.440925598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90277 ÷ 217
    90277 ÷ 131072     		y = 0.688758850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440925598144531 × 2 - 1) × π
    -0.118148803710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37117541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688758850097656 × 2 - 1) × π
    -0.377517700195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.18600683349981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37117541} λ = -0.37117541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18600683349981))-π/2
    2×atan(0.305438498920302)-π/2
    2×0.296438744594315-π/2
    0.59287748918863-1.57079632675     		φ = -0.97791884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37117541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.266784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97791884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.030622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57793 KachelY 90277 -0.37117541 -0.97791884 -21.266784 -56.030622
    Oben rechts KachelX + 1 57794 KachelY 90277 -0.37112748 -0.97791884 -21.264038 -56.030622
    Unten links KachelX 57793 KachelY + 1 90278 -0.37117541 -0.97794562 -21.266784 -56.032157
    Unten rechts KachelX + 1 57794 KachelY + 1 90278 -0.37112748 -0.97794562 -21.264038 -56.032157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97791884--0.97794562) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dl = 170.615380000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97791884--0.97794562) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dr = 170.615380000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37117541--0.37112748) × cos(-0.97791884) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558749737131014 × 6371000     		do = 170.6209539922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37117541--0.37112748) × cos(-0.97794562) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558727527304014 × 6371000     		du = 170.614171954341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97791884)-sin(-0.97794562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558749737131014-0.558727527304014)×R²
    abs(-0.37112748--0.37117541)×2.22098269990756e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22098269990756e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22098269990756e-05×40589641000000     		ar = 29109.980343119m²