Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57791 / 90203
↖ ↑ ↗
← S 55.916891°
W 21.272278°		 ← 171.16 m → S 55.916891°
W 21.269531°		 →
↑
171.13 m
↓
↑
171.13 m
↓
S 55.918430°
W 21.272278°		 ← 171.15 m →
29 289 m²		 S 55.918430°
W 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440914154052734 y=0.688198089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440914154052734 × 217)
    floor (0.440914154052734 × 131072)
    floor (57791.5)     		tx = 57791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688198089599609 × 217)
    floor (0.688198089599609 × 131072)
    floor (90203.5)     		ty = 90203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57791 / 90203 ti = "17/57791/90203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57791/90203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57791 ÷ 217
    57791 ÷ 131072     		x = 0.440910339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90203 ÷ 217
    90203 ÷ 131072     		y = 0.688194274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440910339355469 × 2 - 1) × π
    -0.118179321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37127129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688194274902344 × 2 - 1) × π
    -0.376388549804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.18245950292793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37127129} λ = -0.37127129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18245950292793))-π/2
    2×atan(0.306523914270682)-π/2
    2×0.297431238167299-π/2
    0.594862476334598-1.57079632675     		φ = -0.97593385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37127129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.272278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97593385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.916891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57791 KachelY 90203 -0.37127129 -0.97593385 -21.272278 -55.916891
    Oben rechts KachelX + 1 57792 KachelY 90203 -0.37122335 -0.97593385 -21.269531 -55.916891
    Unten links KachelX 57791 KachelY + 1 90204 -0.37127129 -0.97596071 -21.272278 -55.918430
    Unten rechts KachelX + 1 57792 KachelY + 1 90204 -0.37122335 -0.97596071 -21.269531 -55.918430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97593385--0.97596071) × R
    2.68599999999619e-05 × 6371000     		dl = 171.125059999757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97593385--0.97596071) × R
    2.68599999999619e-05 × 6371000     		dr = 171.125059999757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37127129--0.37122335) × cos(-0.97593385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560394859562893 × 6371000     		do = 171.159014674081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37127129--0.37122335) × cos(-0.97596071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560372613221828 × 6371000     		du = 171.152220068898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97593385)-sin(-0.97596071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560394859562893-0.560372613221828)×R²
    abs(-0.37122335--0.37127129)×2.22463410651796e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22463410651796e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22463410651796e-05×40589641000000     		ar = 29289.0152936603m²