Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57790 / 90283
↖ ↑ ↗
← S 56.039829°
W 21.275024°		 ← 170.58 m → S 56.039829°
W 21.272278°		 →
↑
170.55 m
↓
↑
170.55 m
↓
S 56.041363°
W 21.275024°		 ← 170.57 m →
29 092 m²		 S 56.041363°
W 21.272278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440906524658203 y=0.688808441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440906524658203 × 217)
    floor (0.440906524658203 × 131072)
    floor (57790.5)     		tx = 57790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688808441162109 × 217)
    floor (0.688808441162109 × 131072)
    floor (90283.5)     		ty = 90283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57790 / 90283 ti = "17/57790/90283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57790/90283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57790 ÷ 217
    57790 ÷ 131072     		x = 0.440902709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90283 ÷ 217
    90283 ÷ 131072     		y = 0.688804626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440902709960938 × 2 - 1) × π
    -0.118194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37131922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688804626464844 × 2 - 1) × π
    -0.377609252929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.18629445489753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37131922} λ = -0.37131922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18629445489753))-π/2
    2×atan(0.305350660904977)-π/2
    2×0.296358399987067-π/2
    0.592716799974134-1.57079632675     		φ = -0.97807953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37131922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.275024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97807953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.039829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57790 KachelY 90283 -0.37131922 -0.97807953 -21.275024 -56.039829
    Oben rechts KachelX + 1 57791 KachelY 90283 -0.37127129 -0.97807953 -21.272278 -56.039829
    Unten links KachelX 57790 KachelY + 1 90284 -0.37131922 -0.97810630 -21.275024 -56.041363
    Unten rechts KachelX + 1 57791 KachelY + 1 90284 -0.37127129 -0.97810630 -21.272278 -56.041363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97807953--0.97810630) × R
    2.67699999999538e-05 × 6371000     		dl = 170.551669999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97807953--0.97810630) × R
    2.67699999999538e-05 × 6371000     		dr = 170.551669999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37131922--0.37127129) × cos(-0.97807953) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558616463864551 × 6371000     		do = 170.580257397205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37131922--0.37127129) × cos(-0.97810630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558594259927841 × 6371000     		du = 170.573477158018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97807953)-sin(-0.97810630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558616463864551-0.558594259927841)×R²
    abs(-0.37127129--0.37131922)×2.22039367094862e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22039367094862e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22039367094862e-05×40589641000000     		ar = 29092.1695792884m²