Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57788 / 90278
↖ ↑ ↗
← S 56.032157°
W 21.280518°		 ← 170.65 m → S 56.032157°
W 21.277771°		 →
↑
170.62 m
↓
↑
170.62 m
↓
S 56.033691°
W 21.280518°		 ← 170.64 m →
29 115 m²		 S 56.033691°
W 21.277771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440891265869141 y=0.688770294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440891265869141 × 217)
    floor (0.440891265869141 × 131072)
    floor (57788.5)     		tx = 57788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688770294189453 × 217)
    floor (0.688770294189453 × 131072)
    floor (90278.5)     		ty = 90278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57788 / 90278 ti = "17/57788/90278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57788/90278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57788 ÷ 217
    57788 ÷ 131072     		x = 0.440887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90278 ÷ 217
    90278 ÷ 131072     		y = 0.688766479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.11822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37141510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688766479492188 × 2 - 1) × π
    -0.377532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18605477039943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37141510} λ = -0.37141510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18605477039943))-π/2
    2×atan(0.305423857496574)-π/2
    2×0.296425352495447-π/2
    0.592850704990894-1.57079632675     		φ = -0.97794562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37141510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.280518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97794562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.032157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57788 KachelY 90278 -0.37141510 -0.97794562 -21.280518 -56.032157
    Oben rechts KachelX + 1 57789 KachelY 90278 -0.37136716 -0.97794562 -21.277771 -56.032157
    Unten links KachelX 57788 KachelY + 1 90279 -0.37141510 -0.97797240 -21.280518 -56.033691
    Unten rechts KachelX + 1 57789 KachelY + 1 90279 -0.37136716 -0.97797240 -21.277771 -56.033691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97794562--0.97797240) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dl = 170.615380000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97794562--0.97797240) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dr = 170.615380000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37141510--0.37136716) × cos(-0.97794562) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558727527304014 × 6371000     		do = 170.649768485285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37141510--0.37136716) × cos(-0.97797240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558705317076314 × 6371000     		du = 170.642984910053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97794562)-sin(-0.97797240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558727527304014-0.558705317076314)×R²
    abs(-0.37136716--0.37141510)×2.22102277007696e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22102277007696e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22102277007696e-05×40589641000000     		ar = 29114.896407613m²