Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57784 / 90616
↖ ↑ ↗
← S 56.547372°
W 21.291504°		 ← 168.37 m → S 56.547372°
W 21.288757°		 →
↑
168.32 m
↓
↑
168.32 m
↓
S 56.548886°
W 21.291504°		 ← 168.36 m →
28 339 m²		 S 56.548886°
W 21.288757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440860748291016 y=0.691349029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440860748291016 × 217)
    floor (0.440860748291016 × 131072)
    floor (57784.5)     		tx = 57784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691349029541016 × 217)
    floor (0.691349029541016 × 131072)
    floor (90616.5)     		ty = 90616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57784 / 90616 ti = "17/57784/90616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57784/90616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57784 ÷ 217
    57784 ÷ 131072     		x = 0.44085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90616 ÷ 217
    90616 ÷ 131072     		y = 0.69134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37160685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.3826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20225744247101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37160685} λ = -0.37160685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20225744247101))-π/2
    2×atan(0.3005150501789)-π/2
    2×0.291929250568693-π/2
    0.583858501137385-1.57079632675     		φ = -0.98693783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37160685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98693783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.547372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57784 KachelY 90616 -0.37160685 -0.98693783 -21.291504 -56.547372
    Oben rechts KachelX + 1 57785 KachelY 90616 -0.37155891 -0.98693783 -21.288757 -56.547372
    Unten links KachelX 57784 KachelY + 1 90617 -0.37160685 -0.98696425 -21.291504 -56.548886
    Unten rechts KachelX + 1 57785 KachelY + 1 90617 -0.37155891 -0.98696425 -21.288757 -56.548886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98693783--0.98696425) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dl = 168.321819999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98693783--0.98696425) × R
    2.64199999999715e-05 × 6371000     		dr = 168.321819999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37160685--0.37155891) × cos(-0.98693783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.551247337752711 × 6371000     		do = 168.365126056041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37160685--0.37155891) × cos(-0.98696425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.551225294247856 × 6371000     		du = 168.358393402259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98693783)-sin(-0.98696425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551247337752711-0.551225294247856)×R²
    abs(-0.37155891--0.37160685)×2.20435048552403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20435048552403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20435048552403e-05×40589641000000     		ar = 28338.9578175642m²