Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57779 / 90288
↖ ↑ ↗
← S 56.047500°
W 21.305237°		 ← 170.58 m → S 56.047500°
W 21.302490°		 →
↑
170.55 m
↓
↑
170.55 m
↓
S 56.049034°
W 21.305237°		 ← 170.58 m →
29 092 m²		 S 56.049034°
W 21.302490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440822601318359 y=0.688846588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440822601318359 × 217)
    floor (0.440822601318359 × 131072)
    floor (57779.5)     		tx = 57779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688846588134766 × 217)
    floor (0.688846588134766 × 131072)
    floor (90288.5)     		ty = 90288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57779 / 90288 ti = "17/57779/90288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57779/90288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57779 ÷ 217
    57779 ÷ 131072     		x = 0.440818786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90288 ÷ 217
    90288 ÷ 131072     		y = 0.6888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440818786621094 × 2 - 1) × π
    -0.118362426757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37184653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18653413939563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37184653} λ = -0.37184653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18653413939563))-π/2
    2×atan(0.305277481855366)-π/2
    2×0.296291460787561-π/2
    0.592582921575122-1.57079632675     		φ = -0.97821341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37184653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.305237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97821341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.047500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57779 KachelY 90288 -0.37184653 -0.97821341 -21.305237 -56.047500
    Oben rechts KachelX + 1 57780 KachelY 90288 -0.37179859 -0.97821341 -21.302490 -56.047500
    Unten links KachelX 57779 KachelY + 1 90289 -0.37184653 -0.97824018 -21.305237 -56.049034
    Unten rechts KachelX + 1 57780 KachelY + 1 90289 -0.37179859 -0.97824018 -21.302490 -56.049034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97821341--0.97824018) × R
    2.67700000000648e-05 × 6371000     		dl = 170.551670000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97821341--0.97824018) × R
    2.67700000000648e-05 × 6371000     		dr = 170.551670000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37184653--0.37179859) × cos(-0.97821341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558505415293066 × 6371000     		do = 170.581929759978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37184653--0.37179859) × cos(-0.97824018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.558483209354532 × 6371000     		du = 170.575147494768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97821341)-sin(-0.97824018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558505415293066-0.558483209354532)×R²
    abs(-0.37179859--0.37184653)×2.22059385341922e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22059385341922e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22059385341922e-05×40589641000000     		ar = 29092.4546308684m²