Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57778 / 90284
↖ ↑ ↗
← S 56.041363°
W 21.307984°		 ← 170.61 m → S 56.041363°
W 21.305237°		 →
↑
170.62 m
↓
↑
170.62 m
↓
S 56.042897°
W 21.307984°		 ← 170.60 m →
29 108 m²		 S 56.042897°
W 21.305237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440814971923828 y=0.688816070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440814971923828 × 217)
    floor (0.440814971923828 × 131072)
    floor (57778.5)     		tx = 57778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688816070556641 × 217)
    floor (0.688816070556641 × 131072)
    floor (90284.5)     		ty = 90284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57778 / 90284 ti = "17/57778/90284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57778/90284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57778 ÷ 217
    57778 ÷ 131072     		x = 0.440811157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90284 ÷ 217
    90284 ÷ 131072     		y = 0.688812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440811157226562 × 2 - 1) × π
    -0.118377685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37189447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.37762451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18634239179715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37189447} λ = -0.37189447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18634239179715))-π/2
    2×atan(0.30533602369183)-π/2
    2×0.296345011082502-π/2
    0.592690022165004-1.57079632675     		φ = -0.97810630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37189447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.307984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97810630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.041363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57778 KachelY 90284 -0.37189447 -0.97810630 -21.307984 -56.041363
    Oben rechts KachelX + 1 57779 KachelY 90284 -0.37184653 -0.97810630 -21.305237 -56.041363
    Unten links KachelX 57778 KachelY + 1 90285 -0.37189447 -0.97813308 -21.307984 -56.042897
    Unten rechts KachelX + 1 57779 KachelY + 1 90285 -0.37184653 -0.97813308 -21.305237 -56.042897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97810630--0.97813308) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dl = 170.615380000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97810630--0.97813308) × R
    2.6780000000004e-05 × 6371000     		dr = 170.615380000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37189447--0.37184653) × cos(-0.97810630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.558594259927841 × 6371000     		do = 170.609065198101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37189447--0.37184653) × cos(-0.97813308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.558572047296265 × 6371000     		du = 170.602280888665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97810630)-sin(-0.97813308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558594259927841-0.558572047296265)×R²
    abs(-0.37184653--0.37189447)×2.22126315766458e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22126315766458e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22126315766458e-05×40589641000000     		ar = 29107.9517382454m²