Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57778 / 90197
↖ ↑ ↗
← S 55.907655°
W 21.307984°		 ← 171.20 m → S 55.907655°
W 21.305237°		 →
↑
171.19 m
↓
↑
171.19 m
↓
S 55.909194°
W 21.307984°		 ← 171.19 m →
29 307 m²		 S 55.909194°
W 21.305237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440814971923828 y=0.688152313232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440814971923828 × 217)
    floor (0.440814971923828 × 131072)
    floor (57778.5)     		tx = 57778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688152313232422 × 217)
    floor (0.688152313232422 × 131072)
    floor (90197.5)     		ty = 90197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57778 / 90197 ti = "17/57778/90197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57778/90197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57778 ÷ 217
    57778 ÷ 131072     		x = 0.440811157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90197 ÷ 217
    90197 ÷ 131072     		y = 0.688148498535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440811157226562 × 2 - 1) × π
    -0.118377685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37189447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688148498535156 × 2 - 1) × π
    -0.376296997070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.1821718815302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37189447} λ = -0.37189447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1821718815302))-π/2
    2×atan(0.306612089787314)-π/2
    2×0.297511838543031-π/2
    0.595023677086062-1.57079632675     		φ = -0.97577265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37189447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.307984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97577265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.907655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57778 KachelY 90197 -0.37189447 -0.97577265 -21.307984 -55.907655
    Oben rechts KachelX + 1 57779 KachelY 90197 -0.37184653 -0.97577265 -21.305237 -55.907655
    Unten links KachelX 57778 KachelY + 1 90198 -0.37189447 -0.97579952 -21.307984 -55.909194
    Unten rechts KachelX + 1 57779 KachelY + 1 90198 -0.37184653 -0.97579952 -21.305237 -55.909194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97577265--0.97579952) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dl = 171.188770000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97577265--0.97579952) × R
    2.68700000000122e-05 × 6371000     		dr = 171.188770000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37189447--0.37184653) × cos(-0.97577265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560528362243785 × 6371000     		do = 171.199789829184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37189447--0.37184653) × cos(-0.97579952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560506110047874 × 6371000     		du = 171.192993435781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97577265)-sin(-0.97579952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560528362243785-0.560506110047874)×R²
    abs(-0.37184653--0.37189447)×2.22521959115651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22521959115651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22521959115651e-05×40589641000000     		ar = 29306.8997136663m²