Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57776 / 90255
↖ ↑ ↗
← S 55.996845°
W 21.313477°		 ← 170.81 m → S 55.996845°
W 21.310730°		 →
↑
170.74 m
↓
↑
170.74 m
↓
S 55.998381°
W 21.313477°		 ← 170.80 m →
29 163 m²		 S 55.998381°
W 21.310730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440799713134766 y=0.688594818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440799713134766 × 217)
    floor (0.440799713134766 × 131072)
    floor (57776.5)     		tx = 57776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688594818115234 × 217)
    floor (0.688594818115234 × 131072)
    floor (90255.5)     		ty = 90255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57776 / 90255 ti = "17/57776/90255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57776/90255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57776 ÷ 217
    57776 ÷ 131072     		x = 0.4407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90255 ÷ 217
    90255 ÷ 131072     		y = 0.688591003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37199034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688591003417969 × 2 - 1) × π
    -0.377182006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.18495222170817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37199034} λ = -0.37199034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18495222170817))-π/2
    2×atan(0.305760787877881)-π/2
    2×0.296733505493234-π/2
    0.593467010986468-1.57079632675     		φ = -0.97732932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37199034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.313477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97732932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.996845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57776 KachelY 90255 -0.37199034 -0.97732932 -21.313477 -55.996845
    Oben rechts KachelX + 1 57777 KachelY 90255 -0.37194240 -0.97732932 -21.310730 -55.996845
    Unten links KachelX 57776 KachelY + 1 90256 -0.37199034 -0.97735612 -21.313477 -55.998381
    Unten rechts KachelX + 1 57777 KachelY + 1 90256 -0.37194240 -0.97735612 -21.310730 -55.998381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97732932--0.97735612) × R
    2.68000000001045e-05 × 6371000     		dl = 170.742800000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97732932--0.97735612) × R
    2.68000000001045e-05 × 6371000     		dr = 170.742800000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37199034--0.37194240) × cos(-0.97732932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.559238550357698 × 6371000     		do = 170.805848079415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37199034--0.37194240) × cos(-0.97735612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.559216332775123 × 6371000     		du = 170.799062257816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97732932)-sin(-0.97735612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559238550357698-0.559216332775123)×R²
    abs(-0.37194240--0.37199034)×2.22175825757009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22175825757009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22175825757009e-05×40589641000000     		ar = 29163.2894441946m²