Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57771 / 90177
↖ ↑ ↗
← S 55.876852°
W 21.327210°		 ← 171.34 m → S 55.876852°
W 21.324463°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
S 55.878393°
W 21.327210°		 ← 171.33 m →
29 352 m²		 S 55.878393°
W 21.324463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440761566162109 y=0.687999725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440761566162109 × 217)
    floor (0.440761566162109 × 131072)
    floor (57771.5)     		tx = 57771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687999725341797 × 217)
    floor (0.687999725341797 × 131072)
    floor (90177.5)     		ty = 90177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57771 / 90177 ti = "17/57771/90177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57771/90177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57771 ÷ 217
    57771 ÷ 131072     		x = 0.440757751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90177 ÷ 217
    90177 ÷ 131072     		y = 0.687995910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440757751464844 × 2 - 1) × π
    -0.118484497070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37223003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687995910644531 × 2 - 1) × π
    -0.375991821289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.1812131435378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37223003} λ = -0.37223003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1812131435378))-π/2
    2×atan(0.306906191407393)-π/2
    2×0.297780645145913-π/2
    0.595561290291826-1.57079632675     		φ = -0.97523504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37223003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.327210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97523504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.876852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57771 KachelY 90177 -0.37223003 -0.97523504 -21.327210 -55.876852
    Oben rechts KachelX + 1 57772 KachelY 90177 -0.37218209 -0.97523504 -21.324463 -55.876852
    Unten links KachelX 57771 KachelY + 1 90178 -0.37223003 -0.97526193 -21.327210 -55.878393
    Unten rechts KachelX + 1 57772 KachelY + 1 90178 -0.37218209 -0.97526193 -21.324463 -55.878393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97523504--0.97526193) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dl = 171.31619000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97523504--0.97526193) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dr = 171.31619000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37223003--0.37218209) × cos(-0.97523504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.56097349499881 × 6371000     		do = 171.335744830285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37223003--0.37218209) × cos(-0.97526193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.560951234346133 × 6371000     		du = 171.328945853969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97523504)-sin(-0.97526193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56097349499881-0.560951234346133)×R²
    abs(-0.37218209--0.37223003)×2.2260652676187e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2260652676187e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2260652676187e-05×40589641000000     		ar = 29352.0046294646m²