Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57771 / 90171
↖ ↑ ↗
← S 55.867606°
W 21.327210°		 ← 171.38 m → S 55.867606°
W 21.324463°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
S 55.869147°
W 21.327210°		 ← 171.37 m →
29 370 m²		 S 55.869147°
W 21.324463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440761566162109 y=0.687953948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440761566162109 × 217)
    floor (0.440761566162109 × 131072)
    floor (57771.5)     		tx = 57771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687953948974609 × 217)
    floor (0.687953948974609 × 131072)
    floor (90171.5)     		ty = 90171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57771 / 90171 ti = "17/57771/90171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57771/90171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57771 ÷ 217
    57771 ÷ 131072     		x = 0.440757751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90171 ÷ 217
    90171 ÷ 131072     		y = 0.687950134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440757751464844 × 2 - 1) × π
    -0.118484497070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37223003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687950134277344 × 2 - 1) × π
    -0.375900268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.18092552214008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37223003} λ = -0.37223003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18092552214008))-π/2
    2×atan(0.306994476890924)-π/2
    2×0.297861328741447-π/2
    0.595722657482894-1.57079632675     		φ = -0.97507367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37223003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.327210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97507367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.867606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57771 KachelY 90171 -0.37223003 -0.97507367 -21.327210 -55.867606
    Oben rechts KachelX + 1 57772 KachelY 90171 -0.37218209 -0.97507367 -21.324463 -55.867606
    Unten links KachelX 57771 KachelY + 1 90172 -0.37223003 -0.97510057 -21.327210 -55.869147
    Unten rechts KachelX + 1 57772 KachelY + 1 90172 -0.37218209 -0.97510057 -21.324463 -55.869147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97507367--0.97510057) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dl = 171.379900000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97507367--0.97510057) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dr = 171.379900000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37223003--0.37218209) × cos(-0.97507367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.56110707522849 × 6371000     		do = 171.376543670785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37223003--0.37218209) × cos(-0.97510057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.561084808732671 × 6371000     		du = 171.369742909822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97507367)-sin(-0.97510057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56110707522849-0.561084808732671)×R²
    abs(-0.37218209--0.37223003)×2.22664958196006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22664958196006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22664958196006e-05×40589641000000     		ar = 29369.9121617246m²