Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57764 / 88612
↖ ↑ ↗
← S 53.389881°
W 21.346435°		 ← 182.11 m → S 53.389881°
W 21.343689°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
S 53.391518°
W 21.346435°		 ← 182.10 m →
33 158 m²		 S 53.391518°
W 21.343689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440708160400391 y=0.676059722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440708160400391 × 217)
    floor (0.440708160400391 × 131072)
    floor (57764.5)     		tx = 57764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676059722900391 × 217)
    floor (0.676059722900391 × 131072)
    floor (88612.5)     		ty = 88612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57764 / 88612 ti = "17/57764/88612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57764/88612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57764 ÷ 217
    57764 ÷ 131072     		x = 0.440704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88612 ÷ 217
    88612 ÷ 131072     		y = 0.676055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.11859130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37256558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676055908203125 × 2 - 1) × π
    -0.35211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10619189563242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37256558} λ = -0.37256558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10619189563242))-π/2
    2×atan(0.330816348606194)-π/2
    2×0.31948356022594-π/2
    0.63896712045188-1.57079632675     		φ = -0.93182921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37256558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.346435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93182921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.389881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57764 KachelY 88612 -0.37256558 -0.93182921 -21.346435 -53.389881
    Oben rechts KachelX + 1 57765 KachelY 88612 -0.37251765 -0.93182921 -21.343689 -53.389881
    Unten links KachelX 57764 KachelY + 1 88613 -0.37256558 -0.93185779 -21.346435 -53.391518
    Unten rechts KachelX + 1 57765 KachelY + 1 88613 -0.37251765 -0.93185779 -21.343689 -53.391518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93182921--0.93185779) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dl = 182.083180000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93182921--0.93185779) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dr = 182.083180000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37256558--0.37251765) × cos(-0.93182921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59636665171423 × 6371000     		do = 182.107731391872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37256558--0.37251765) × cos(-0.93185779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596343709957052 × 6371000     		du = 182.100725850328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93182921)-sin(-0.93185779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59636665171423-0.596343709957052)×R²
    abs(-0.37251765--0.37256558)×2.29417571780965e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29417571780965e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29417571780965e-05×40589641000000     		ar = 33158.1170411168m²