Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57762 / 90219
↖ ↑ ↗
← S 55.941510°
W 21.351929°		 ← 171.05 m → S 55.941510°
W 21.349182°		 →
↑
171.06 m
↓
↑
171.06 m
↓
S 55.943048°
W 21.351929°		 ← 171.04 m →
29 260 m²		 S 55.943048°
W 21.349182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440692901611328 y=0.688320159912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440692901611328 × 217)
    floor (0.440692901611328 × 131072)
    floor (57762.5)     		tx = 57762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688320159912109 × 217)
    floor (0.688320159912109 × 131072)
    floor (90219.5)     		ty = 90219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57762 / 90219 ti = "17/57762/90219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57762/90219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57762 ÷ 217
    57762 ÷ 131072     		x = 0.440689086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90219 ÷ 217
    90219 ÷ 131072     		y = 0.688316345214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440689086914062 × 2 - 1) × π
    -0.118621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37266146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688316345214844 × 2 - 1) × π
    -0.376632690429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.18322649332185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37266146} λ = -0.37266146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18322649332185))-π/2
    2×atan(0.306288903509948)-π/2
    2×0.297216397681989-π/2
    0.594432795363978-1.57079632675     		φ = -0.97636353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37266146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.351929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97636353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.941510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57762 KachelY 90219 -0.37266146 -0.97636353 -21.351929 -55.941510
    Oben rechts KachelX + 1 57763 KachelY 90219 -0.37261352 -0.97636353 -21.349182 -55.941510
    Unten links KachelX 57762 KachelY + 1 90220 -0.37266146 -0.97639038 -21.351929 -55.943048
    Unten rechts KachelX + 1 57763 KachelY + 1 90220 -0.37261352 -0.97639038 -21.349182 -55.943048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97636353--0.97639038) × R
    2.68500000000227e-05 × 6371000     		dl = 171.061350000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97636353--0.97639038) × R
    2.68500000000227e-05 × 6371000     		dr = 171.061350000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37266146--0.37261352) × cos(-0.97636353) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.560038935877799 × 6371000     		do = 171.050306419375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37266146--0.37261352) × cos(-0.97639038) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.560016691356097 × 6371000     		du = 171.043512369873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97636353)-sin(-0.97639038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560038935877799-0.560016691356097)×R²
    abs(-0.37261352--0.37266146)×2.22445217016309e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22445217016309e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22445217016309e-05×40589641000000     		ar = 29259.5152360587m²