Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57761 / 90271
↖ ↑ ↗
← S 56.021413°
W 21.354675°		 ← 170.66 m → S 56.021413°
W 21.351929°		 →
↑
170.68 m
↓
↑
170.68 m
↓
S 56.022948°
W 21.354675°		 ← 170.65 m →
29 128 m²		 S 56.022948°
W 21.351929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440685272216797 y=0.688716888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440685272216797 × 217)
    floor (0.440685272216797 × 131072)
    floor (57761.5)     		tx = 57761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688716888427734 × 217)
    floor (0.688716888427734 × 131072)
    floor (90271.5)     		ty = 90271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57761 / 90271 ti = "17/57761/90271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57761/90271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57761 ÷ 217
    57761 ÷ 131072     		x = 0.440681457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90271 ÷ 217
    90271 ÷ 131072     		y = 0.688713073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440681457519531 × 2 - 1) × π
    -0.118637084960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37270939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688713073730469 × 2 - 1) × π
    -0.377426147460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.18571921210209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37270939} λ = -0.37270939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18571921210209))-π/2
    2×atan(0.305526362203354)-π/2
    2×0.29651910836884-π/2
    0.593038216737679-1.57079632675     		φ = -0.97775811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37270939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.354675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97775811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.021413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57761 KachelY 90271 -0.37270939 -0.97775811 -21.354675 -56.021413
    Oben rechts KachelX + 1 57762 KachelY 90271 -0.37266146 -0.97775811 -21.351929 -56.021413
    Unten links KachelX 57761 KachelY + 1 90272 -0.37270939 -0.97778490 -21.354675 -56.022948
    Unten rechts KachelX + 1 57762 KachelY + 1 90272 -0.37266146 -0.97778490 -21.351929 -56.022948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97775811--0.97778490) × R
    2.67899999999432e-05 × 6371000     		dl = 170.679089999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97775811--0.97778490) × R
    2.67899999999432e-05 × 6371000     		dr = 170.679089999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37270939--0.37266146) × cos(-0.97775811) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558883029139705 × 6371000     		do = 170.661656310556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37270939--0.37266146) × cos(-0.97778490) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558860813425385 × 6371000     		du = 170.654872474934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97775811)-sin(-0.97778490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558883029139705-0.558860813425385)×R²
    abs(-0.37266146--0.37270939)×2.22157143205948e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22157143205948e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22157143205948e-05×40589641000000     		ar = 29127.7972693829m²