Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57761 / 90270
↖ ↑ ↗
← S 56.019878°
W 21.354675°		 ← 170.67 m → S 56.019878°
W 21.351929°		 →
↑
170.68 m
↓
↑
170.68 m
↓
S 56.021413°
W 21.354675°		 ← 170.66 m →
29 129 m²		 S 56.021413°
W 21.351929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440685272216797 y=0.688709259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440685272216797 × 217)
    floor (0.440685272216797 × 131072)
    floor (57761.5)     		tx = 57761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688709259033203 × 217)
    floor (0.688709259033203 × 131072)
    floor (90270.5)     		ty = 90270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57761 / 90270 ti = "17/57761/90270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57761/90270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57761 ÷ 217
    57761 ÷ 131072     		x = 0.440681457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90270 ÷ 217
    90270 ÷ 131072     		y = 0.688705444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440681457519531 × 2 - 1) × π
    -0.118637084960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37270939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688705444335938 × 2 - 1) × π
    -0.377410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18567127520247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37270939} λ = -0.37270939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18567127520247))-π/2
    2×atan(0.305541008540957)-π/2
    2×0.296532504194921-π/2
    0.593065008389842-1.57079632675     		φ = -0.97773132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37270939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.354675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97773132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.019878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57761 KachelY 90270 -0.37270939 -0.97773132 -21.354675 -56.019878
    Oben rechts KachelX + 1 57762 KachelY 90270 -0.37266146 -0.97773132 -21.351929 -56.019878
    Unten links KachelX 57761 KachelY + 1 90271 -0.37270939 -0.97775811 -21.354675 -56.021413
    Unten rechts KachelX + 1 57762 KachelY + 1 90271 -0.37266146 -0.97775811 -21.351929 -56.021413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97773132--0.97775811) × R
    2.67900000000543e-05 × 6371000     		dl = 170.679090000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97773132--0.97775811) × R
    2.67900000000543e-05 × 6371000     		dr = 170.679090000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37270939--0.37266146) × cos(-0.97773132) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558905244452913 × 6371000     		do = 170.668440023695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37270939--0.37266146) × cos(-0.97775811) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558883029139705 × 6371000     		du = 170.661656310556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97773132)-sin(-0.97775811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558905244452913-0.558883029139705)×R²
    abs(-0.37266146--0.37270939)×2.22153132080072e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22153132080072e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22153132080072e-05×40589641000000     		ar = 29128.9551177807m²