Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57761 / 90269
↖ ↑ ↗
← S 56.018343°
W 21.354675°		 ← 170.68 m → S 56.018343°
W 21.351929°		 →
↑
170.68 m
↓
↑
170.68 m
↓
S 56.019878°
W 21.354675°		 ← 170.67 m →
29 130 m²		 S 56.019878°
W 21.351929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440685272216797 y=0.688701629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440685272216797 × 217)
    floor (0.440685272216797 × 131072)
    floor (57761.5)     		tx = 57761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688701629638672 × 217)
    floor (0.688701629638672 × 131072)
    floor (90269.5)     		ty = 90269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57761 / 90269 ti = "17/57761/90269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57761/90269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57761 ÷ 217
    57761 ÷ 131072     		x = 0.440681457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90269 ÷ 217
    90269 ÷ 131072     		y = 0.688697814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440681457519531 × 2 - 1) × π
    -0.118637084960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37270939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688697814941406 × 2 - 1) × π
    -0.377395629882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.18562333830285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37270939} λ = -0.37270939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18562333830285))-π/2
    2×atan(0.305555655580677)-π/2
    2×0.296545900553507-π/2
    0.593091801107015-1.57079632675     		φ = -0.97770453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37270939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.354675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97770453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.018343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57761 KachelY 90269 -0.37270939 -0.97770453 -21.354675 -56.018343
    Oben rechts KachelX + 1 57762 KachelY 90269 -0.37266146 -0.97770453 -21.351929 -56.018343
    Unten links KachelX 57761 KachelY + 1 90270 -0.37270939 -0.97773132 -21.354675 -56.019878
    Unten rechts KachelX + 1 57762 KachelY + 1 90270 -0.37266146 -0.97773132 -21.351929 -56.019878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97770453--0.97773132) × R
    2.67899999999432e-05 × 6371000     		dl = 170.679089999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97770453--0.97773132) × R
    2.67899999999432e-05 × 6371000     		dr = 170.679089999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37270939--0.37266146) × cos(-0.97770453) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558927459364993 × 6371000     		do = 170.675223614344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37270939--0.37266146) × cos(-0.97773132) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558905244452913 × 6371000     		du = 170.668440023695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97770453)-sin(-0.97773132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558927459364993-0.558905244452913)×R²
    abs(-0.37266146--0.37270939)×2.22149120793214e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22149120793214e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22149120793214e-05×40589641000000     		ar = 29130.1129450116m²