Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57751 / 90260
↖ ↑ ↗
← S 56.004524°
W 21.382141°		 ← 170.74 m → S 56.004524°
W 21.379395°		 →
↑
170.81 m
↓
↑
170.81 m
↓
S 56.006060°
W 21.382141°		 ← 170.73 m →
29 162 m²		 S 56.006060°
W 21.379395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440608978271484 y=0.688632965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440608978271484 × 217)
    floor (0.440608978271484 × 131072)
    floor (57751.5)     		tx = 57751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688632965087891 × 217)
    floor (0.688632965087891 × 131072)
    floor (90260.5)     		ty = 90260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57751 / 90260 ti = "17/57751/90260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57751/90260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57751 ÷ 217
    57751 ÷ 131072     		x = 0.440605163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90260 ÷ 217
    90260 ÷ 131072     		y = 0.688629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440605163574219 × 2 - 1) × π
    -0.118789672851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37318876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.37725830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18519190620627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37318876} λ = -0.37318876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18519190620627))-π/2
    2×atan(0.305687510538972)-π/2
    2×0.296666491745427-π/2
    0.593332983490853-1.57079632675     		φ = -0.97746334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37318876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.382141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97746334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.004524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57751 KachelY 90260 -0.37318876 -0.97746334 -21.382141 -56.004524
    Oben rechts KachelX + 1 57752 KachelY 90260 -0.37314083 -0.97746334 -21.379395 -56.004524
    Unten links KachelX 57751 KachelY + 1 90261 -0.37318876 -0.97749015 -21.382141 -56.006060
    Unten rechts KachelX + 1 57752 KachelY + 1 90261 -0.37314083 -0.97749015 -21.379395 -56.006060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97746334--0.97749015) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dl = 170.806509999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97746334--0.97749015) × R
    2.68099999999327e-05 × 6371000     		dr = 170.806509999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37318876--0.37314083) × cos(-0.97746334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.55912744184683 × 6371000     		do = 170.736290671159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37318876--0.37314083) × cos(-0.97749015) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.559105213964889 × 6371000     		du = 170.729503120007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97746334)-sin(-0.97749015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55912744184683-0.559105213964889)×R²
    abs(-0.37314083--0.37318876)×2.22278819403954e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22278819403954e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22278819403954e-05×40589641000000     		ar = 29162.2902626418m²