Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57751 / 88613
↖ ↑ ↗
← S 53.391518°
W 21.382141°		 ← 182.10 m → S 53.391518°
W 21.379395°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 53.393157°
W 21.382141°		 ← 182.09 m →
33 168 m²		 S 53.393157°
W 21.379395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440608978271484 y=0.676067352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440608978271484 × 217)
    floor (0.440608978271484 × 131072)
    floor (57751.5)     		tx = 57751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676067352294922 × 217)
    floor (0.676067352294922 × 131072)
    floor (88613.5)     		ty = 88613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57751 / 88613 ti = "17/57751/88613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57751/88613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57751 ÷ 217
    57751 ÷ 131072     		x = 0.440605163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88613 ÷ 217
    88613 ÷ 131072     		y = 0.676063537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440605163574219 × 2 - 1) × π
    -0.118789672851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37318876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676063537597656 × 2 - 1) × π
    -0.352127075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.10623983253204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37318876} λ = -0.37318876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10623983253204))-π/2
    2×atan(0.330800490676191)-π/2
    2×0.319469266516721-π/2
    0.638938533033442-1.57079632675     		φ = -0.93185779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37318876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.382141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93185779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.391518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57751 KachelY 88613 -0.37318876 -0.93185779 -21.382141 -53.391518
    Oben rechts KachelX + 1 57752 KachelY 88613 -0.37314083 -0.93185779 -21.379395 -53.391518
    Unten links KachelX 57751 KachelY + 1 88614 -0.37318876 -0.93188638 -21.382141 -53.393157
    Unten rechts KachelX + 1 57752 KachelY + 1 88614 -0.37314083 -0.93188638 -21.379395 -53.393157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93185779--0.93188638) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93185779--0.93188638) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37318876--0.37314083) × cos(-0.93185779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596343709957052 × 6371000     		do = 182.100725850328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37318876--0.37314083) × cos(-0.93188638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596320759685308 × 6371000     		du = 182.093717708759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93185779)-sin(-0.93188638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596343709957052-0.596320759685308)×R²
    abs(-0.37314083--0.37318876)×2.29502717440377e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29502717440377e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29502717440377e-05×40589641000000     		ar = 33168.4426270116m²