Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57749 / 90259
↖ ↑ ↗
← S 56.002988°
W 21.387634°		 ← 170.78 m → S 56.002988°
W 21.384888°		 →
↑
170.74 m
↓
↑
170.74 m
↓
S 56.004524°
W 21.387634°		 ← 170.77 m →
29 159 m²		 S 56.004524°
W 21.384888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440593719482422 y=0.688625335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440593719482422 × 217)
    floor (0.440593719482422 × 131072)
    floor (57749.5)     		tx = 57749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688625335693359 × 217)
    floor (0.688625335693359 × 131072)
    floor (90259.5)     		ty = 90259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57749 / 90259 ti = "17/57749/90259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57749/90259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57749 ÷ 217
    57749 ÷ 131072     		x = 0.440589904785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90259 ÷ 217
    90259 ÷ 131072     		y = 0.688621520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440589904785156 × 2 - 1) × π
    -0.118820190429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37328464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688621520996094 × 2 - 1) × π
    -0.377243041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.18514396930665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37328464} λ = -0.37328464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18514396930665))-π/2
    2×atan(0.305702164601712)-π/2
    2×0.2966798934297-π/2
    0.593359786859401-1.57079632675     		φ = -0.97743654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37328464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.387634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97743654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.002988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57749 KachelY 90259 -0.37328464 -0.97743654 -21.387634 -56.002988
    Oben rechts KachelX + 1 57750 KachelY 90259 -0.37323670 -0.97743654 -21.384888 -56.002988
    Unten links KachelX 57749 KachelY + 1 90260 -0.37328464 -0.97746334 -21.387634 -56.004524
    Unten rechts KachelX + 1 57750 KachelY + 1 90260 -0.37323670 -0.97746334 -21.384888 -56.004524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97743654--0.97746334) × R
    2.67999999999935e-05 × 6371000     		dl = 170.742799999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97743654--0.97746334) × R
    2.67999999999935e-05 × 6371000     		dr = 170.742799999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37328464--0.37323670) × cos(-0.97743654) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.559149661036216 × 6371000     		do = 170.778698992821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37328464--0.37323670) × cos(-0.97746334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55912744184683 × 6371000     		du = 170.771912680461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97743654)-sin(-0.97746334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559149661036216-0.55912744184683)×R²
    abs(-0.37323670--0.37328464)×2.22191893857193e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22191893857193e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22191893857193e-05×40589641000000     		ar = 29158.6538911457m²