Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57744 / 88720
↖ ↑ ↗
← S 53.566414°
W 21.401367°		 ← 181.39 m → S 53.566414°
W 21.398620°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
S 53.568045°
W 21.401367°		 ← 181.38 m →
32 889 m²		 S 53.568045°
W 21.398620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440555572509766 y=0.676883697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440555572509766 × 217)
    floor (0.440555572509766 × 131072)
    floor (57744.5)     		tx = 57744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676883697509766 × 217)
    floor (0.676883697509766 × 131072)
    floor (88720.5)     		ty = 88720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57744 / 88720 ti = "17/57744/88720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57744/88720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57744 ÷ 217
    57744 ÷ 131072     		x = 0.4405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88720 ÷ 217
    88720 ÷ 131072     		y = 0.6768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37352432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.11136908079138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37352432} λ = -0.37352432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11136908079138))-π/2
    2×atan(0.329108076950778)-π/2
    2×0.317943015680689-π/2
    0.635886031361378-1.57079632675     		φ = -0.93491030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37352432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.401367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93491030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57744 KachelY 88720 -0.37352432 -0.93491030 -21.401367 -53.566414
    Oben rechts KachelX + 1 57745 KachelY 88720 -0.37347638 -0.93491030 -21.398620 -53.566414
    Unten links KachelX 57744 KachelY + 1 88721 -0.37352432 -0.93493876 -21.401367 -53.568045
    Unten rechts KachelX + 1 57745 KachelY + 1 88721 -0.37347638 -0.93493876 -21.398620 -53.568045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93491030--0.93493876) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93491030--0.93493876) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37352432--0.37347638) × cos(-0.93491030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593890596522316 × 6371000     		do = 181.389474921961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37352432--0.37347638) × cos(-0.93493876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593867698908067 × 6371000     		du = 181.382481401185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93491030)-sin(-0.93493876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593890596522316-0.593867698908067)×R²
    abs(-0.37347638--0.37352432)×2.28976142486736e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28976142486736e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28976142486736e-05×40589641000000     		ar = 32888.6625053212m²