Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57732 / 90268
↖ ↑ ↗
← S 56.016808°
W 21.434326°		 ← 170.68 m → S 56.016808°
W 21.431580°		 →
↑
170.74 m
↓
↑
170.74 m
↓
S 56.018343°
W 21.434326°		 ← 170.68 m →
29 142 m²		 S 56.018343°
W 21.431580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440464019775391 y=0.688694000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440464019775391 × 217)
    floor (0.440464019775391 × 131072)
    floor (57732.5)     		tx = 57732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688694000244141 × 217)
    floor (0.688694000244141 × 131072)
    floor (90268.5)     		ty = 90268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57732 / 90268 ti = "17/57732/90268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57732/90268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57732 ÷ 217
    57732 ÷ 131072     		x = 0.440460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90268 ÷ 217
    90268 ÷ 131072     		y = 0.688690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.11907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37409956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.37738037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18557540140323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37409956} λ = -0.37409956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18557540140323))-π/2
    2×atan(0.305570303322548)-π/2
    2×0.296559297444611-π/2
    0.593118594889221-1.57079632675     		φ = -0.97767773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37409956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.434326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97767773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.016808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57732 KachelY 90268 -0.37409956 -0.97767773 -21.434326 -56.016808
    Oben rechts KachelX + 1 57733 KachelY 90268 -0.37405163 -0.97767773 -21.431580 -56.016808
    Unten links KachelX 57732 KachelY + 1 90269 -0.37409956 -0.97770453 -21.434326 -56.018343
    Unten rechts KachelX + 1 57733 KachelY + 1 90269 -0.37405163 -0.97770453 -21.431580 -56.018343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97767773--0.97770453) × R
    2.67999999999935e-05 × 6371000     		dl = 170.742799999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97767773--0.97770453) × R
    2.67999999999935e-05 × 6371000     		dr = 170.742799999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37409956--0.37405163) × cos(-0.97767773) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558949682167943 × 6371000     		do = 170.682009614565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37409956--0.37405163) × cos(-0.97770453) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.558927459364993 × 6371000     		du = 170.675223614344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97767773)-sin(-0.97770453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558949682167943-0.558927459364993)×R²
    abs(-0.37405163--0.37409956)×2.22228029506111e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22228029506111e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22228029506111e-05×40589641000000     		ar = 29142.1449026409m²