Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57728 / 88735
↖ ↑ ↗
← S 53.590875°
W 21.445312°		 ← 181.25 m → S 53.590875°
W 21.442566°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
S 53.592505°
W 21.445312°		 ← 181.24 m →
32 851 m²		 S 53.592505°
W 21.442566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440433502197266 y=0.676998138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440433502197266 × 217)
    floor (0.440433502197266 × 131072)
    floor (57728.5)     		tx = 57728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676998138427734 × 217)
    floor (0.676998138427734 × 131072)
    floor (88735.5)     		ty = 88735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57728 / 88735 ti = "17/57728/88735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57728/88735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57728 ÷ 217
    57728 ÷ 131072     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88735 ÷ 217
    88735 ÷ 131072     		y = 0.676994323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676994323730469 × 2 - 1) × π
    -0.353988647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.11208813428568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11208813428568))-π/2
    2×atan(0.328871515698334)-π/2
    2×0.31772955788137-π/2
    0.635459115762741-1.57079632675     		φ = -0.93533721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93533721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.590875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57728 KachelY 88735 -0.37429131 -0.93533721 -21.445312 -53.590875
    Oben rechts KachelX + 1 57729 KachelY 88735 -0.37424338 -0.93533721 -21.442566 -53.590875
    Unten links KachelX 57728 KachelY + 1 88736 -0.37429131 -0.93536566 -21.445312 -53.592505
    Unten rechts KachelX + 1 57729 KachelY + 1 88736 -0.37424338 -0.93536566 -21.442566 -53.592505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93533721--0.93536566) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dl = 181.25494999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93533721--0.93536566) × R
    2.84499999999577e-05 × 6371000     		dr = 181.25494999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.37424338) × cos(-0.93533721) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593547073762356 × 6371000     		do = 181.246739344534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.37424338) × cos(-0.93536566) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593524176982808 × 6371000     		du = 181.239747537451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93533721)-sin(-0.93536566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593547073762356-0.593524176982808)×R²
    abs(-0.37424338--0.37429131)×2.28967795478097e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28967795478097e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28967795478097e-05×40589641000000     		ar = 32851.2350297562m²