Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57723 / 90243
↖ ↑ ↗
← S 55.978409°
W 21.459046°		 ← 170.89 m → S 55.978409°
W 21.456299°		 →
↑
170.87 m
↓
↑
170.87 m
↓
S 55.979945°
W 21.459046°		 ← 170.88 m →
29 199 m²		 S 55.979945°
W 21.456299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440395355224609 y=0.688503265380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440395355224609 × 217)
    floor (0.440395355224609 × 131072)
    floor (57723.5)     		tx = 57723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688503265380859 × 217)
    floor (0.688503265380859 × 131072)
    floor (90243.5)     		ty = 90243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57723 / 90243 ti = "17/57723/90243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57723/90243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57723 ÷ 217
    57723 ÷ 131072     		x = 0.440391540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90243 ÷ 217
    90243 ÷ 131072     		y = 0.688499450683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440391540527344 × 2 - 1) × π
    -0.119216918945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37453100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688499450683594 × 2 - 1) × π
    -0.376998901367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.18437697891273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37453100} λ = -0.37453100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18437697891273))-π/2
    2×atan(0.305936725166714)-π/2
    2×0.296894392823911-π/2
    0.593788785647823-1.57079632675     		φ = -0.97700754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37453100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.459046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97700754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.978409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57723 KachelY 90243 -0.37453100 -0.97700754 -21.459046 -55.978409
    Oben rechts KachelX + 1 57724 KachelY 90243 -0.37448306 -0.97700754 -21.456299 -55.978409
    Unten links KachelX 57723 KachelY + 1 90244 -0.37453100 -0.97703436 -21.459046 -55.979945
    Unten rechts KachelX + 1 57724 KachelY + 1 90244 -0.37448306 -0.97703436 -21.456299 -55.979945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97700754--0.97703436) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dl = 170.870219999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97700754--0.97703436) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dr = 170.870219999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37453100--0.37448306) × cos(-0.97700754) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.559505279202808 × 6371000     		do = 170.88731393451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37453100--0.37448306) × cos(-0.97703436) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.559483049867159 × 6371000     		du = 170.88052452322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97700754)-sin(-0.97703436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559505279202808-0.559483049867159)×R²
    abs(-0.37448306--0.37453100)×2.22293356493264e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22293356493264e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22293356493264e-05×40589641000000     		ar = 29198.9728747145m²