Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57722 / 88604
↖ ↑ ↗
← S 53.376775°
W 21.461792°		 ← 182.16 m → S 53.376775°
W 21.459046°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 53.378413°
W 21.461792°		 ← 182.16 m →
33 180 m²		 S 53.378413°
W 21.459046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440387725830078 y=0.675998687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440387725830078 × 217)
    floor (0.440387725830078 × 131072)
    floor (57722.5)     		tx = 57722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675998687744141 × 217)
    floor (0.675998687744141 × 131072)
    floor (88604.5)     		ty = 88604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57722 / 88604 ti = "17/57722/88604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57722/88604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57722 ÷ 217
    57722 ÷ 131072     		x = 0.440383911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88604 ÷ 217
    88604 ÷ 131072     		y = 0.675994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440383911132812 × 2 - 1) × π
    -0.119232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37457893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.35198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.10580840043546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37457893} λ = -0.37457893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10580840043546))-π/2
    2×atan(0.330943239416413)-π/2
    2×0.319597929701418-π/2
    0.639195859402837-1.57079632675     		φ = -0.93160047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37457893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.461792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93160047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.376775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57722 KachelY 88604 -0.37457893 -0.93160047 -21.461792 -53.376775
    Oben rechts KachelX + 1 57723 KachelY 88604 -0.37453100 -0.93160047 -21.459046 -53.376775
    Unten links KachelX 57722 KachelY + 1 88605 -0.37457893 -0.93162906 -21.461792 -53.378413
    Unten rechts KachelX + 1 57723 KachelY + 1 88605 -0.37453100 -0.93162906 -21.459046 -53.378413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93160047--0.93162906) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93160047--0.93162906) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37457893--0.37453100) × cos(-0.93160047) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596550248491262 × 6371000     		do = 182.163794876197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37457893--0.37453100) × cos(-0.93162906) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596527302607363 × 6371000     		du = 182.156788074509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93160047)-sin(-0.93162906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596550248491262-0.596527302607363)×R²
    abs(-0.37453100--0.37457893)×2.29458838999497e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29458838999497e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29458838999497e-05×40589641000000     		ar = 33179.9305758807m²