Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57719 / 90239
↖ ↑ ↗
← S 55.972261°
W 21.470031°		 ← 170.88 m → S 55.972261°
W 21.467285°		 →
↑
170.87 m
↓
↑
170.87 m
↓
S 55.973798°
W 21.470031°		 ← 170.87 m →
29 198 m²		 S 55.973798°
W 21.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440364837646484 y=0.688472747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440364837646484 × 217)
    floor (0.440364837646484 × 131072)
    floor (57719.5)     		tx = 57719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688472747802734 × 217)
    floor (0.688472747802734 × 131072)
    floor (90239.5)     		ty = 90239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57719 / 90239 ti = "17/57719/90239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57719/90239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57719 ÷ 217
    57719 ÷ 131072     		x = 0.440361022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90239 ÷ 217
    90239 ÷ 131072     		y = 0.688468933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440361022949219 × 2 - 1) × π
    -0.119277954101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37472274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688468933105469 × 2 - 1) × π
    -0.376937866210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.18418523131425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37472274} λ = -0.37472274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18418523131425))-π/2
    2×atan(0.30599539342362)-π/2
    2×0.296948038983289-π/2
    0.593896077966578-1.57079632675     		φ = -0.97690025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37472274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.470031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97690025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.972261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57719 KachelY 90239 -0.37472274 -0.97690025 -21.470031 -55.972261
    Oben rechts KachelX + 1 57720 KachelY 90239 -0.37467481 -0.97690025 -21.467285 -55.972261
    Unten links KachelX 57719 KachelY + 1 90240 -0.37472274 -0.97692707 -21.470031 -55.973798
    Unten rechts KachelX + 1 57720 KachelY + 1 90240 -0.37467481 -0.97692707 -21.467285 -55.973798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97690025--0.97692707) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dl = 170.870219999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97690025--0.97692707) × R
    2.6819999999983e-05 × 6371000     		dr = 170.870219999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37472274--0.37467481) × cos(-0.97690025) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.559594200808322 × 6371000     		do = 170.878821134964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37472274--0.37467481) × cos(-0.97692707) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.559571973082755 × 6371000     		du = 170.872033631562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97690025)-sin(-0.97692707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559594200808322-0.559571973082755)×R²
    abs(-0.37467481--0.37472274)×2.22277255669256e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22277255669256e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22277255669256e-05×40589641000000     		ar = 29197.5218711975m²