Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57718 / 89549
↖ ↑ ↗
← S 54.897144°
W 21.472778°		 ← 175.63 m → S 54.897144°
W 21.470031°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
S 54.898723°
W 21.472778°		 ← 175.63 m →
30 838 m²		 S 54.898723°
W 21.470031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440357208251953 y=0.683208465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440357208251953 × 217)
    floor (0.440357208251953 × 131072)
    floor (57718.5)     		tx = 57718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683208465576172 × 217)
    floor (0.683208465576172 × 131072)
    floor (89549.5)     		ty = 89549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57718 / 89549 ti = "17/57718/89549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57718/89549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57718 ÷ 217
    57718 ÷ 131072     		x = 0.440353393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89549 ÷ 217
    89549 ÷ 131072     		y = 0.683204650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440353393554688 × 2 - 1) × π
    -0.119293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37477068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683204650878906 × 2 - 1) × π
    -0.366409301757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.15110877057641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37477068} λ = -0.37477068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15110877057641))-π/2
    2×atan(0.316285886406062)-π/2
    2×0.306330205004292-π/2
    0.612660410008585-1.57079632675     		φ = -0.95813592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37477068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.472778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95813592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.897144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57718 KachelY 89549 -0.37477068 -0.95813592 -21.472778 -54.897144
    Oben rechts KachelX + 1 57719 KachelY 89549 -0.37472274 -0.95813592 -21.470031 -54.897144
    Unten links KachelX 57718 KachelY + 1 89550 -0.37477068 -0.95816348 -21.472778 -54.898723
    Unten rechts KachelX + 1 57719 KachelY + 1 89550 -0.37472274 -0.95816348 -21.470031 -54.898723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95813592--0.95816348) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dl = 175.584759999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95813592--0.95816348) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dr = 175.584759999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37477068--0.37472274) × cos(-0.95813592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575046027375052 × 6371000     		do = 175.633858445174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37477068--0.37472274) × cos(-0.95816348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575023479740293 × 6371000     		du = 175.626971817142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95813592)-sin(-0.95816348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575046027375052-0.575023479740293)×R²
    abs(-0.37472274--0.37477068)×2.25476347590625e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25476347590625e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25476347590625e-05×40589641000000     		ar = 30838.0242914858m²