Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57713 / 90479
↖ ↑ ↗
← S 56.339379°
W 21.486511°		 ← 169.29 m → S 56.339379°
W 21.483765°		 →
↑
169.28 m
↓
↑
169.28 m
↓
S 56.340901°
W 21.486511°		 ← 169.28 m →
28 656 m²		 S 56.340901°
W 21.483765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440319061279297 y=0.690303802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440319061279297 × 217)
    floor (0.440319061279297 × 131072)
    floor (57713.5)     		tx = 57713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690303802490234 × 217)
    floor (0.690303802490234 × 131072)
    floor (90479.5)     		ty = 90479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57713 / 90479 ti = "17/57713/90479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57713/90479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57713 ÷ 217
    57713 ÷ 131072     		x = 0.440315246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90479 ÷ 217
    90479 ÷ 131072     		y = 0.690299987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440315246582031 × 2 - 1) × π
    -0.119369506835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37501037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690299987792969 × 2 - 1) × π
    -0.380599975585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.19569008722306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37501037} λ = -0.37501037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19569008722306))-π/2
    2×atan(0.30249513411131)-π/2
    2×0.293744333417472-π/2
    0.587488666834943-1.57079632675     		φ = -0.98330766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37501037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.486511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98330766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.339379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57713 KachelY 90479 -0.37501037 -0.98330766 -21.486511 -56.339379
    Oben rechts KachelX + 1 57714 KachelY 90479 -0.37496243 -0.98330766 -21.483765 -56.339379
    Unten links KachelX 57713 KachelY + 1 90480 -0.37501037 -0.98333423 -21.486511 -56.340901
    Unten rechts KachelX + 1 57714 KachelY + 1 90480 -0.37496243 -0.98333423 -21.483765 -56.340901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98330766--0.98333423) × R
    2.6569999999948e-05 × 6371000     		dl = 169.277469999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98330766--0.98333423) × R
    2.6569999999948e-05 × 6371000     		dr = 169.277469999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37501037--0.37496243) × cos(-0.98330766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.55427250176097 × 6371000     		do = 169.289089011884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37501037--0.37496243) × cos(-0.98333423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.554250386417326 × 6371000     		du = 169.282334416687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98330766)-sin(-0.98333423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55427250176097-0.554250386417326)×R²
    abs(-0.37496243--0.37501037)×2.21153436437138e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21153436437138e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21153436437138e-05×40589641000000     		ar = 28656.2569878476m²