Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57710 / 88811
↖ ↑ ↗
← S 53.714590°
W 21.494751°		 ← 180.75 m → S 53.714590°
W 21.492004°		 →
↑
180.68 m
↓
↑
180.68 m
↓
S 53.716215°
W 21.494751°		 ← 180.75 m →
32 658 m²		 S 53.716215°
W 21.492004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440296173095703 y=0.677577972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440296173095703 × 217)
    floor (0.440296173095703 × 131072)
    floor (57710.5)     		tx = 57710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677577972412109 × 217)
    floor (0.677577972412109 × 131072)
    floor (88811.5)     		ty = 88811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57710 / 88811 ti = "17/57710/88811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57710/88811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57710 ÷ 217
    57710 ÷ 131072     		x = 0.440292358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88811 ÷ 217
    88811 ÷ 131072     		y = 0.677574157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440292358398438 × 2 - 1) × π
    -0.119415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37515418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677574157714844 × 2 - 1) × π
    -0.355148315429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.11573133865681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37515418} λ = -0.37515418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11573133865681))-π/2
    2×atan(0.327675549452363)-π/2
    2×0.316649935602608-π/2
    0.633299871205215-1.57079632675     		φ = -0.93749646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37515418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.494751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93749646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.714590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57710 KachelY 88811 -0.37515418 -0.93749646 -21.494751 -53.714590
    Oben rechts KachelX + 1 57711 KachelY 88811 -0.37510624 -0.93749646 -21.492004 -53.714590
    Unten links KachelX 57710 KachelY + 1 88812 -0.37515418 -0.93752482 -21.494751 -53.716215
    Unten rechts KachelX + 1 57711 KachelY + 1 88812 -0.37510624 -0.93752482 -21.492004 -53.716215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93749646--0.93752482) × R
    2.83600000000606e-05 × 6371000     		dl = 180.681560000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93749646--0.93752482) × R
    2.83600000000606e-05 × 6371000     		dr = 180.681560000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37515418--0.37510624) × cos(-0.93749646) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.591807928615893 × 6371000     		do = 180.753374535467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37515418--0.37510624) × cos(-0.93752482) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.591785067977087 × 6371000     		du = 180.746392307943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93749646)-sin(-0.93752482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591807928615893-0.591785067977087)×R²
    abs(-0.37510624--0.37515418)×2.28606388056329e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28606388056329e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28606388056329e-05×40589641000000     		ar = 32658.1709086479m²