Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57706 / 89542
↖ ↑ ↗
← S 54.886087°
W 21.505737°		 ← 175.65 m → S 54.886087°
W 21.502991°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
S 54.887667°
W 21.505737°		 ← 175.64 m →
30 851 m²		 S 54.887667°
W 21.502991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440265655517578 y=0.683155059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440265655517578 × 217)
    floor (0.440265655517578 × 131072)
    floor (57706.5)     		tx = 57706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683155059814453 × 217)
    floor (0.683155059814453 × 131072)
    floor (89542.5)     		ty = 89542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57706 / 89542 ti = "17/57706/89542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57706/89542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57706 ÷ 217
    57706 ÷ 131072     		x = 0.440261840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89542 ÷ 217
    89542 ÷ 131072     		y = 0.683151245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440261840820312 × 2 - 1) × π
    -0.119476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37534592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683151245117188 × 2 - 1) × π
    -0.366302490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15077321227907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37534592} λ = -0.37534592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15077321227907))-π/2
    2×atan(0.316392036568365)-π/2
    2×0.306426698981564-π/2
    0.612853397963128-1.57079632675     		φ = -0.95794293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37534592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.505737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95794293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.886087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57706 KachelY 89542 -0.37534592 -0.95794293 -21.505737 -54.886087
    Oben rechts KachelX + 1 57707 KachelY 89542 -0.37529799 -0.95794293 -21.502991 -54.886087
    Unten links KachelX 57706 KachelY + 1 89543 -0.37534592 -0.95797050 -21.505737 -54.887667
    Unten rechts KachelX + 1 57707 KachelY + 1 89543 -0.37529799 -0.95797050 -21.502991 -54.887667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95794293--0.95797050) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dl = 175.648469999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95794293--0.95797050) × R
    2.75699999999768e-05 × 6371000     		dr = 175.648469999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37534592--0.37529799) × cos(-0.95794293) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575203905848322 × 6371000     		do = 175.645432353677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37534592--0.37529799) × cos(-0.95797050) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.575181353092221 × 6371000     		du = 175.638545598291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95794293)-sin(-0.95797050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575203905848322-0.575181353092221)×R²
    abs(-0.37529799--0.37534592)×2.25527561011907e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25527561011907e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25527561011907e-05×40589641000000     		ar = 30851.2466331561m²