Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57706 / 88734
↖ ↑ ↗
← S 53.589244°
W 21.505737°		 ← 181.25 m → S 53.589244°
W 21.502991°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
S 53.590875°
W 21.505737°		 ← 181.25 m →
32 853 m²		 S 53.590875°
W 21.502991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440265655517578 y=0.676990509033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440265655517578 × 217)
    floor (0.440265655517578 × 131072)
    floor (57706.5)     		tx = 57706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676990509033203 × 217)
    floor (0.676990509033203 × 131072)
    floor (88734.5)     		ty = 88734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57706 / 88734 ti = "17/57706/88734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57706/88734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57706 ÷ 217
    57706 ÷ 131072     		x = 0.440261840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88734 ÷ 217
    88734 ÷ 131072     		y = 0.676986694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440261840820312 × 2 - 1) × π
    -0.119476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37534592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676986694335938 × 2 - 1) × π
    -0.353973388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11204019738606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37534592} λ = -0.37534592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11204019738606))-π/2
    2×atan(0.32888728115704)-π/2
    2×0.317743784559024-π/2
    0.635487569118047-1.57079632675     		φ = -0.93530876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37534592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.505737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93530876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.589244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57706 KachelY 88734 -0.37534592 -0.93530876 -21.505737 -53.589244
    Oben rechts KachelX + 1 57707 KachelY 88734 -0.37529799 -0.93530876 -21.502991 -53.589244
    Unten links KachelX 57706 KachelY + 1 88735 -0.37534592 -0.93533721 -21.505737 -53.590875
    Unten rechts KachelX + 1 57707 KachelY + 1 88735 -0.37529799 -0.93533721 -21.502991 -53.590875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93530876--0.93533721) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dl = 181.254950000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93530876--0.93533721) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dr = 181.254950000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37534592--0.37529799) × cos(-0.93530876) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593569970061485 × 6371000     		do = 181.253731004915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37534592--0.37529799) × cos(-0.93533721) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593547073762356 × 6371000     		du = 181.246739344534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93530876)-sin(-0.93533721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593569970061485-0.593547073762356)×R²
    abs(-0.37529799--0.37534592)×2.28962991294379e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28962991294379e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28962991294379e-05×40589641000000     		ar = 32852.5023164198m²