Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57706 / 88076
↖ ↑ ↗
← S 52.502848°
W 21.505737°		 ← 185.88 m → S 52.502848°
W 21.502991°		 →
↑
185.91 m
↓
↑
185.91 m
↓
S 52.504520°
W 21.505737°		 ← 185.87 m →
34 556 m²		 S 52.504520°
W 21.502991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440265655517578 y=0.671970367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440265655517578 × 217)
    floor (0.440265655517578 × 131072)
    floor (57706.5)     		tx = 57706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671970367431641 × 217)
    floor (0.671970367431641 × 131072)
    floor (88076.5)     		ty = 88076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57706 / 88076 ti = "17/57706/88076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57706/88076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57706 ÷ 217
    57706 ÷ 131072     		x = 0.440261840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88076 ÷ 217
    88076 ÷ 131072     		y = 0.671966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440261840820312 × 2 - 1) × π
    -0.119476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37534592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.34393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08049771743607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37534592} λ = -0.37534592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08049771743607))-π/2
    2×atan(0.339426545086389)-π/2
    2×0.327224384242049-π/2
    0.654448768484098-1.57079632675     		φ = -0.91634756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37534592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.505737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91634756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.502848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57706 KachelY 88076 -0.37534592 -0.91634756 -21.505737 -52.502848
    Oben rechts KachelX + 1 57707 KachelY 88076 -0.37529799 -0.91634756 -21.502991 -52.502848
    Unten links KachelX 57706 KachelY + 1 88077 -0.37534592 -0.91637674 -21.505737 -52.504520
    Unten rechts KachelX + 1 57707 KachelY + 1 88077 -0.37529799 -0.91637674 -21.502991 -52.504520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91634756--0.91637674) × R
    2.9180000000073e-05 × 6371000     		dl = 185.905780000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91634756--0.91637674) × R
    2.9180000000073e-05 × 6371000     		dr = 185.905780000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37534592--0.37529799) × cos(-0.91634756) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608721996451379 × 6371000     		do = 185.880584541944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37534592--0.37529799) × cos(-0.91637674) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608698845258884 × 6371000     		du = 185.873515046807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91634756)-sin(-0.91637674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608721996451379-0.608698845258884)×R²
    abs(-0.37529799--0.37534592)×2.31511924947414e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31511924947414e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31511924947414e-05×40589641000000     		ar = 34555.6179286845m²