Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57703 / 89605
↖ ↑ ↗
← S 54.985494°
W 21.513977°		 ← 175.21 m → S 54.985494°
W 21.511231°		 →
↑
175.27 m
↓
↑
175.27 m
↓
S 54.987070°
W 21.513977°		 ← 175.20 m →
30 708 m²		 S 54.987070°
W 21.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440242767333984 y=0.683635711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440242767333984 × 217)
    floor (0.440242767333984 × 131072)
    floor (57703.5)     		tx = 57703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683635711669922 × 217)
    floor (0.683635711669922 × 131072)
    floor (89605.5)     		ty = 89605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57703 / 89605 ti = "17/57703/89605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57703/89605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57703 ÷ 217
    57703 ÷ 131072     		x = 0.440238952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89605 ÷ 217
    89605 ÷ 131072     		y = 0.683631896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440238952636719 × 2 - 1) × π
    -0.119522094726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37548973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683631896972656 × 2 - 1) × π
    -0.367263793945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.15379323695513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37548973} λ = -0.37548973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15379323695513))-π/2
    2×atan(0.315437966193792)-π/2
    2×0.30555920639405-π/2
    0.611118412788101-1.57079632675     		φ = -0.95967791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37548973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.513977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95967791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.985494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57703 KachelY 89605 -0.37548973 -0.95967791 -21.513977 -54.985494
    Oben rechts KachelX + 1 57704 KachelY 89605 -0.37544180 -0.95967791 -21.511231 -54.985494
    Unten links KachelX 57703 KachelY + 1 89606 -0.37548973 -0.95970542 -21.513977 -54.987070
    Unten rechts KachelX + 1 57704 KachelY + 1 89606 -0.37544180 -0.95970542 -21.511231 -54.987070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95967791--0.95970542) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dl = 175.266210000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95967791--0.95970542) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dr = 175.266210000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37548973--0.37544180) × cos(-0.95967791) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.573783809731083 × 6371000     		do = 175.211788920724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37548973--0.37544180) × cos(-0.95970542) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.573761278636877 × 6371000     		du = 175.20490878006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95967791)-sin(-0.95970542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573783809731083-0.573761278636877)×R²
    abs(-0.37544180--0.37548973)×2.25310942059131e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25310942059131e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25310942059131e-05×40589641000000     		ar = 30708.1032652332m²