Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57701 / 88679
↖ ↑ ↗
← S 53.499483°
W 21.519470°		 ← 181.68 m → S 53.499483°
W 21.516724°		 →
↑
181.70 m
↓
↑
181.70 m
↓
S 53.501117°
W 21.519470°		 ← 181.67 m →
33 010 m²		 S 53.501117°
W 21.516724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440227508544922 y=0.676570892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440227508544922 × 217)
    floor (0.440227508544922 × 131072)
    floor (57701.5)     		tx = 57701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676570892333984 × 217)
    floor (0.676570892333984 × 131072)
    floor (88679.5)     		ty = 88679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57701 / 88679 ti = "17/57701/88679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57701/88679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57701 ÷ 217
    57701 ÷ 131072     		x = 0.440223693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88679 ÷ 217
    88679 ÷ 131072     		y = 0.676567077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440223693847656 × 2 - 1) × π
    -0.119552612304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37558561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676567077636719 × 2 - 1) × π
    -0.353134155273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.10940366790696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37558561} λ = -0.37558561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10940366790696))-π/2
    2×atan(0.329755546269432)-π/2
    2×0.318527097338937-π/2
    0.637054194677874-1.57079632675     		φ = -0.93374213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37558561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.519470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93374213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.499483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57701 KachelY 88679 -0.37558561 -0.93374213 -21.519470 -53.499483
    Oben rechts KachelX + 1 57702 KachelY 88679 -0.37553767 -0.93374213 -21.516724 -53.499483
    Unten links KachelX 57701 KachelY + 1 88680 -0.37558561 -0.93377065 -21.519470 -53.501117
    Unten rechts KachelX + 1 57702 KachelY + 1 88680 -0.37553767 -0.93377065 -21.516724 -53.501117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93374213--0.93377065) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dl = 181.700920000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93374213--0.93377065) × R
    2.85200000000874e-05 × 6371000     		dr = 181.700920000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37558561--0.37553767) × cos(-0.93374213) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594830037368895 × 6371000     		do = 181.676404337714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37558561--0.37553767) × cos(-0.93377065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.594807111282335 × 6371000     		du = 181.669402120761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93374213)-sin(-0.93377065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594830037368895-0.594807111282335)×R²
    abs(-0.37553767--0.37558561)×2.29260865600711e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29260865600711e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29260865600711e-05×40589641000000     		ar = 33010.1336580954m²